Номер 2.82, страница 63 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.82. Докажите, что значение выражения

1) $3^9+3^7+3^6$ делится на 93;

2) $11^9-11^8+11^7$ делится на 37.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $3^9+3^7+3^6$ делится на 93, преобразуем его, вынеся за скобки общий множитель с наименьшей степенью. В данном выражении это $3^6$.

$3^9+3^7+3^6 = 3^6 \cdot 3^3 + 3^6 \cdot 3^1 + 3^6 \cdot 1 = 3^6(3^3+3^1+1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$3^3+3+1 = 27+3+1 = 31$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде:

$3^6 \cdot 31$

Нам нужно доказать делимость на 93. Разложим 93 на множители: $93 = 3 \cdot 31$.

Теперь преобразуем полученное выражение, выделив множитель 93:

$3^6 \cdot 31 = (3^5 \cdot 3) \cdot 31 = 3^5 \cdot (3 \cdot 31) = 3^5 \cdot 93$

Полученное произведение $3^5 \cdot 93$ очевидно делится на 93, так как один из его множителей равен 93, а второй ($3^5$) является целым числом. Следовательно, и исходное выражение $3^9+3^7+3^6$ делится на 93.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $11^9-11^8+11^7$ делится на 37, используем тот же метод. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $11^7$.

$11^9-11^8+11^7 = 11^7 \cdot 11^2 - 11^7 \cdot 11^1 + 11^7 \cdot 1 = 11^7(11^2-11^1+1)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$11^2-11+1 = 121-11+1 = 110+1 = 111$

Таким образом, исходное выражение равно произведению:

$11^7 \cdot 111$

Нам нужно доказать делимость на 37. Проверим, делится ли число 111 на 37. Выполним деление: $111 \div 37 = 3$. Значит, $111 = 3 \cdot 37$.

Подставим это разложение в наше выражение:

$11^7 \cdot 111 = 11^7 \cdot (3 \cdot 37) = (11^7 \cdot 3) \cdot 37$

Так как один из множителей полученного произведения равен 37, а второй множитель ($11^7 \cdot 3$) является целым числом, то всё выражение делится на 37. Следовательно, и исходное выражение $11^9-11^8+11^7$ делится на 37.

Ответ: Доказано.