Номер 2.98, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.98. Докажите тождество:

1) $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$;

2) $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$;

3) $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$;

4) $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$;

5) $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

1) Чтобы доказать тождество $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, раскроем скобки в левой части выражения, используя правило умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена):

$(a-b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Упростим полученное выражение:

$a^2 + ab - ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые ($ab - ab = 0$):

$a^2 - b^2$

Левая часть тождества равна правой части: $a^2 - b^2 = a^2 - b^2$. Тождество, известное как "разность квадратов", доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ раскроем скобки в левой части:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$

Выполним умножение:

$a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2 = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(-a^2b + a^2b = 0)$ и $(ab^2 - ab^2 = 0)$.

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Тождество "сумма кубов" доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$, раскрыв скобки в левой части выражения:

$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a(a^2 + ab + b^2) - b(a^2 + ab + b^2)$

Выполним умножение:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые: $(a^2b - a^2b = 0)$ и $(ab^2 - ab^2 = 0)$.

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 - b^3$

Левая часть выражения после преобразований стала равна правой части: $a^3 - b^3 = a^3 - b^3$. Тождество "разность кубов" доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, представим квадрат суммы как произведение двух одинаковых скобок и раскроем их:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$

Применим правило умножения многочленов:

$(a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($ab + ab = 2ab$):

$a^2 + 2ab + b^2$

Мы преобразовали левую часть к виду правой части: $a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Тождество "квадрат суммы" доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Докажем тождество $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для этого запишем левую часть в виде произведения и раскроем скобки:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$

Выполним умножение:

$(a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) - b \cdot a - b \cdot (-b) = a^2 - ab - ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые ($-ab - ab = -2ab$):

$a^2 - 2ab + b^2$

Левая часть тождества после преобразований равна правой части: $a^2 - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Тождество "квадрат разности" доказано.

Ответ: Тождество доказано.