Номер 2.92, страница 65 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. Выполните умножение:

1) $(2a^2 - 3b)(a^2 + 2ab + 5b^2);$

2) $(x^2 - 2xy)(x^2 - 5xy + 3y^2);$

3) $(x - y)(x^3 + x^2y + xy^2 + y^3);$

4) $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3);$

5) $(5a - 4b)(a^3 + 2a^2b - 5ab^2 - 3b^3);$

6) $(2x + 3y)(x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + 4y^3).$

1) Чтобы умножить многочлен $(2a^2-3b)$ на многочлен $(a^2+2ab+5b^2)$, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и сложить полученные произведения.

$(2a^2-3b)(a^2+2ab+5b^2) = 2a^2 \cdot (a^2+2ab+5b^2) - 3b \cdot (a^2+2ab+5b^2)$

Раскроем скобки, выполнив умножение:

$2a^2 \cdot a^2 + 2a^2 \cdot 2ab + 2a^2 \cdot 5b^2 - 3b \cdot a^2 - 3b \cdot 2ab - 3b \cdot 5b^2 = $

$= 2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$

В полученном выражении нет подобных слагаемых для приведения, поэтому это конечный результат.

Ответ: $2a^4 + 4a^3b + 10a^2b^2 - 3a^2b - 6ab^2 - 15b^3$.

2) Выполним умножение многочленов $(x^2-2xy)$ и $(x^2-5xy+3y^2)$, используя распределительный закон.

$(x^2-2xy)(x^2-5xy+3y^2) = x^2 \cdot (x^2-5xy+3y^2) - 2xy \cdot (x^2-5xy+3y^2) = $

$= (x^2 \cdot x^2) + (x^2 \cdot (-5xy)) + (x^2 \cdot 3y^2) - (2xy \cdot x^2) - (2xy \cdot (-5xy)) - (2xy \cdot 3y^2) = $

$= x^4 - 5x^3y + 3x^2y^2 - 2x^3y + 10x^2y^2 - 6xy^3$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$x^4 + (-5x^3y - 2x^3y) + (3x^2y^2 + 10x^2y^2) - 6xy^3 = x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$

Ответ: $x^4 - 7x^3y + 13x^2y^2 - 6xy^3$.

3) Данное выражение является частным случаем формулы разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

В нашем случае $x$ выступает в роли $a$, $y$ в роли $b$, а $n=4$. Второй множитель $(x^3+x^2y+xy^2+y^3)$ полностью соответствует формуле.

Следовательно, произведение равно $x^4 - y^4$.

Проверим это, выполнив умножение по шагам:

$(x-y)(x^3+x^2y+xy^2+y^3) = x(x^3+x^2y+xy^2+y^3) - y(x^3+x^2y+xy^2+y^3) = $

$= (x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3) - (x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = $

$= x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 - x^3y - x^2y^2 - xy^3 - y^4$

После приведения подобных членов $(x^3y - x^3y = 0$, $x^2y^2 - x^2y^2 = 0$, $xy^3 - xy^3 = 0)$ получаем:

$x^4 - y^4$

Ответ: $x^4 - y^4$.

4) Для нахождения произведения $(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)$ умножим каждый член первого многочлена на второй многочлен.

$(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3) = a(a^3-a^2b+ab^2-b^3) + b(a^3-a^2b+ab^2-b^3) = $

$= (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3) + (a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4)$

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$

Сгруппируем подобные члены: $a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4$

Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$

Ответ: $a^4 - b^4$.

5) Выполним умножение многочленов $(5a-4b)$ и $(a^3+2a^2b-5ab^2-3b^3)$.

$(5a-4b)(a^3+2a^2b-5ab^2-3b^3) = 5a(a^3+2a^2b-5ab^2-3b^3) - 4b(a^3+2a^2b-5ab^2-3b^3) = $

Раскроем скобки, перемножая члены:

$= (5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3) - (4ba^3 + 8a^2b^2 - 20ab^3 - 12b^4) = $

$= 5a^4 + 10a^3b - 25a^2b^2 - 15ab^3 - 4a^3b - 8a^2b^2 + 20ab^3 + 12b^4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$5a^4 + (10a^3b - 4a^3b) + (-25a^2b^2 - 8a^2b^2) + (-15ab^3 + 20ab^3) + 12b^4 = $

$= 5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$

Ответ: $5a^4 + 6a^3b - 33a^2b^2 + 5ab^3 + 12b^4$.

6) Умножим многочлен $(2x+3y)$ на многочлен $(x^3+3x^2y-3xy^2+4y^3)$.

$(2x+3y)(x^3+3x^2y-3xy^2+4y^3) = 2x(x^3+3x^2y-3xy^2+4y^3) + 3y(x^3+3x^2y-3xy^2+4y^3) = $

Выполним умножение и раскроем скобки:

$= (2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3) + (3yx^3 + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4) = $

$= 2x^4 + 6x^3y - 6x^2y^2 + 8xy^3 + 3x^3y + 9x^2y^2 - 9xy^3 + 12y^4$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$2x^4 + (6x^3y + 3x^3y) + (-6x^2y^2 + 9x^2y^2) + (8xy^3 - 9xy^3) + 12y^4 = $

$= 2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$

Ответ: $2x^4 + 9x^3y + 3x^2y^2 - xy^3 + 12y^4$.