Номер 2.96, страница 66 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.96. С помощью рисунка 2.2 разъясните геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $n, m, a, b$.

Рис. 2.2

На рисунке 2.2 представлен большой прямоугольник. Его стороны можно выразить через указанные отрезки $m, n, a, b$. Длина одной стороны (горизонтальной) равна $m+n$, а длина другой (вертикальной) — $a+b$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон, следовательно, площадь большого прямоугольника составляет $S_{общ} = (m+n)(a+b)$.

Этот большой прямоугольник разделен на четыре меньших прямоугольника. Найдем площадь каждого из них:

• Площадь верхнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $a$ равна $S_1 = ma$.
• Площадь нижнего левого прямоугольника со сторонами $m$ и $b$ равна $S_2 = mb$.
• Площадь верхнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $a$ равна $S_3 = na$.
• Площадь нижнего правого прямоугольника со сторонами $n$ и $b$ равна $S_4 = nb$.

Общая площадь большого прямоугольника также может быть найдена как сумма площадей четырех составляющих его меньших прямоугольников: $S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4$.

Подставив выражения для площадей, получаем: $S_{общ} = ma + mb + na + nb$.

Приравнивая два выражения для общей площади, мы приходим к искомому равенству: $(m+n)(a+b) = ma + mb + na + nb$.

Таким образом, геометрический смысл этого алгебраического равенства заключается в том, что площадь прямоугольника, составленного из частей, равна сумме площадей этих частей.

Ответ: Геометрический смысл равенства $(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb$ для положительных $n, m, a, b$ заключается в том, что площадь большого прямоугольника со сторонами $(m+n)$ и $(a+b)$ равна сумме площадей четырех меньших прямоугольников, из которых он состоит, с площадями $ma$, $mb$, $na$ и $nb$.