Вопросы, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Объясните, как правильно вынести общий множитель за скобки.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование выражения, представляющего собой сумму или разность нескольких слагаемых (одночленов), в произведение. Это действие является обратным раскрытию скобок, то есть обратно распределительному закону умножения: $a(b+c) = ab + ac$. Задача состоит в том, чтобы перейти от выражения вида $ab+ac$ к выражению $a(b+c)$.

Для того чтобы правильно вынести общий множитель, необходимо следовать четкому алгоритму.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

• 1. Найти числовую часть общего множителя. Для этого найдите наибольший общий делитель (НОД) модулей всех числовых коэффициентов в выражении.
• 2. Найти буквенную часть общего множителя. Найдите все переменные (буквы), которые присутствуют в каждом слагаемом выражения.
• 3. Определить степени переменных. Для каждой общей переменной, найденной на шаге 2, выберите ту, что имеет наименьший показатель степени.
• 4. Собрать общий множитель. Общий множитель равен произведению числа из шага 1 и переменных в степенях из шага 3.
• 5. Вынести множитель и найти выражение в скобках. Запишите найденный общий множитель, а после него откройте скобку. Чтобы получить то, что останется в скобках, разделите каждый член исходного выражения на этот общий множитель. Результаты деления запишите в скобках, сохраняя между ними исходные знаки.
• 6. Проверить результат. Для проверки можно раскрыть скобки в полученном выражении. Если результат совпадает с исходным выражением, значит, вынесение множителя выполнено верно.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1: Вынести общий множитель в выражении $8a - 12b$.

1. Находим НОД для коэффициентов 8 и 12. НОД(8, 12) = 4.

2. Общих переменных нет (в одном слагаемом есть a, в другом b).

3. Общий множитель равен 4.

4. Делим каждое слагаемое на 4: $8a / 4 = 2a$; $-12b / 4 = -3b$.

5. Записываем результат: $8a - 12b = 4(2a - 3b)$.

Пример 2: Вынести общий множитель в выражении $15x^3 - 25x^2$.

1. Находим НОД для 15 и 25. НОД(15, 25) = 5.

2. Общая переменная есть, это x.

3. В выражении есть $x^3$ и $x^2$. Наименьшая степень — 2. Значит, берем $x^2$.

4. Общий множитель: $5x^2$.

5. Делим каждое слагаемое на $5x^2$: $15x^3 / (5x^2) = 3x$; $-25x^2 / (5x^2) = -5$.

6. Записываем результат: $15x^3 - 25x^2 = 5x^2(3x - 5)$.

Важное замечание: если одно из слагаемых полностью совпадает с общим множителем, то после деления на его месте остается 1. Эту единицу обязательно нужно записать. Например, $7y + 7 = 7(y + 1)$.

Пример 3: Вынести общий множитель в выражении $14a^4b^2 + 21a^2b^3 - 7a^2b^2$.

1. Находим НОД для 14, 21 и 7. НОД(14, 21, 7) = 7.

2. Общие переменные: a и b.

3. Для переменной a наименьшая степень 2 (из $a^2$). Для переменной b наименьшая степень также 2 (из $b^2$).

4. Общий множитель: $7a^2b^2$.

5. Делим каждое слагаемое на $7a^2b^2$:

$14a^4b^2 / (7a^2b^2) = 2a^2$

$21a^2b^3 / (7a^2b^2) = 3b$

$-7a^2b^2 / (7a^2b^2) = -1$

6. Записываем результат: $14a^4b^2 + 21a^2b^3 - 7a^2b^2 = 7a^2b^2(2a^2 + 3b - 1)$.

Ответ: Чтобы правильно вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов и общие для всех слагаемых переменные в их наименьшей степени. Этот множитель записывается перед скобкой, а в скобках указывается результат деления каждого исходного слагаемого на этот общий множитель.