Номер 2.105, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.105. Разложите на множители:

1) $a^3 + 5a^2 + a$;

2) $8b^2 - 4b^3 + 10b^4$;

3) $x^2 - 3x^3 - 4x^4$;

4) $15y^3 - 27y^2 + 9y$;

5) $6a^5 - 72a^4 - 48a^2$;

6) $-5mn^2 - 15m^2n - 20m^2n^2$.

1) В многочлене $a³+5a²+a$ каждый член содержит множитель $a$. Вынесем этот общий множитель за скобки.

$a³+5a²+a = a \cdot a² + a \cdot 5a + a \cdot 1 = a(a² + 5a + 1)$.

Квадратный трехчлен $a² + 5a + 1$ нельзя разложить на множители с целыми коэффициентами, так как его дискриминант $D = 5² - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 21$ не является точным квадратом.

Ответ: $a(a² + 5a + 1)$.

2) В многочлене $8b² - 4b³ + 10b⁴$ найдем наибольший общий делитель коэффициентов (8, -4, 10), который равен 2. Общий буквенный множитель с наименьшим показателем степени — это $b²$. Вынесем за скобки $2b²$.

$8b² - 4b³ + 10b⁴ = 2b² \cdot 4 - 2b² \cdot 2b + 2b² \cdot 5b² = 2b²(4 - 2b + 5b²)$.

Для удобства запишем многочлен в скобках в стандартном виде (по убыванию степеней): $2b²(5b² - 2b + 4)$.

Ответ: $2b²(5b² - 2b + 4)$.

3) В многочлене $x² - 3x³ - 4x⁴$ общий множитель — $x²$. Вынесем его за скобки.

$x² - 3x³ - 4x⁴ = x²(1 - 3x - 4x²)$.

Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $1 - 3x - 4x²$. Для этого найдем корни уравнения $-4x² - 3x + 1 = 0$, что эквивалентно $4x² + 3x - 1 = 0$.

Дискриминант $D = 3² - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

Корни: $x₁ = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$ и $x₂ = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Разложение имеет вид $a(x-x₁)(x-x₂) = 4(x - \frac{1}{4})(x - (-1)) = (4x-1)(x+1)$.

Следовательно, $1 - 3x - 4x² = -(4x² + 3x - 1) = -(4x-1)(x+1) = (1-4x)(x+1)$.

Окончательное выражение: $x²(1+x)(1-4x)$.

Ответ: $x²(1 + x)(1 - 4x)$.

4) В многочлене $15y³ - 27y² + 9y$ наибольший общий делитель коэффициентов (15, -27, 9) равен 3. Общий буквенный множитель — $y$. Вынесем за скобки $3y$.

$15y³ - 27y² + 9y = 3y \cdot 5y² - 3y \cdot 9y + 3y \cdot 3 = 3y(5y² - 9y + 3)$.

Дискриминант квадратного трехчлена $5y² - 9y + 3$ равен $D = (-9)² - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 81 - 60 = 21$, что не является точным квадратом, поэтому дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $3y(5y² - 9y + 3)$.

5) В многочлене $6a⁶ - 72a⁴ - 48a²$ наибольший общий делитель коэффициентов (6, -72, -48) равен 6. Общий буквенный множитель — $a²$. Вынесем за скобки $6a²$.

$6a⁶ - 72a⁴ - 48a² = 6a² \cdot a⁴ - 6a² \cdot 12a² - 6a² \cdot 8 = 6a²(a⁴ - 12a² - 8)$.

Многочлен в скобках $a⁴ - 12a² - 8$ является биквадратным. Проверим возможность его разложения, рассмотрев как квадратный относительно $a²$. Дискриминант $D = (-12)² - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 144 + 32 = 176$. Так как 176 не является точным квадратом, дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $6a²(a⁴ - 12a² - 8)$.

6) В многочлене $-5mn² - 15m²n - 20m²n²$ все коэффициенты (-5, -15, -20) делятся на -5. Общие буквенные множители — $m$ и $n$. Вынесем за скобки общий множитель $-5mn$.

$-5mn² - 15m²n - 20m²n² = (-5mn) \cdot n + (-5mn) \cdot 3m + (-5mn) \cdot 4mn = -5mn(n + 3m + 4mn)$.

Упорядочим слагаемые в скобках: $-5mn(3m + n + 4mn)$.

Ответ: $-5mn(3m + n + 4mn)$.