Номер 2.111, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.111. Представьте выражение в виде произведения:

1) $5x(2a-3b)+2y(2a-3b)+z(2a-3b);$

2) $7(c+2)+(c+2)^2-b(c+2);$

3) $2ab^2(3x+y)+4a(3x+y);$

4) $5xy^2(x^2-x+1)-15x^2y(x^2-x+1).$

1) В данном выражении $5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b)$ все три слагаемых содержат общий множитель $(2a - 3b)$. Для того чтобы представить выражение в виде произведения, необходимо вынести этот общий множитель за скобки. После вынесения $(2a - 3b)$, в скобках останутся коэффициенты, на которые он умножался в каждом слагаемом: $5x$, $2y$ и $z$.

Выполним вынесение общего множителя за скобки:

$5x(2a - 3b) + 2y(2a - 3b) + z(2a - 3b) = (2a - 3b)(5x + 2y + z)$.

Таким образом, исходное выражение представлено в виде произведения двух множителей.

Ответ: $(2a - 3b)(5x + 2y + z)$

2) В выражении $7(c + 2) + (c + 2)^2 - b(c + 2)$ общим множителем для всех слагаемых является $(c + 2)$. Заметим, что $(c + 2)^2$ это $(c + 2)(c + 2)$.

Вынесем общий множитель $(c + 2)$ за скобки. От первого слагаемого останется $7$, от второго $(c + 2)$, а от третьего $-b$.

$7(c + 2) + (c + 2)^2 - b(c + 2) = (c + 2)[7 + (c + 2) - b]$.

Далее, упростим выражение во второй скобке, раскрыв внутренние скобки и приведя подобные слагаемые:

$7 + c + 2 - b = c - b + 9$.

В результате получаем искомое произведение.

Ответ: $(c + 2)(c - b + 9)$

3) В выражении $2ab^2(3x + y) + 4a(3x + y)$ необходимо найти все общие множители. Оба слагаемых содержат множитель в скобках $(3x + y)$. Кроме того, коэффициенты $2ab^2$ и $4a$ также имеют общий множитель. Найдем их наибольший общий делитель (НОД).

НОД для числовых коэффициентов $2$ и $4$ равен $2$.

Общая переменная для $ab^2$ и $a$ это $a$.

Следовательно, общий множитель для коэффициентов равен $2a$.

Таким образом, полный общий множитель, который можно вынести за скобки, это $2a(3x + y)$.

Вынесем этот множитель:

$2ab^2(3x + y) + 4a(3x + y) = 2a(3x + y) \cdot (\frac{2ab^2(3x+y)}{2a(3x+y)} + \frac{4a(3x+y)}{2a(3x+y)}) = 2a(3x + y)(b^2 + 2)$.

Выражение представлено в виде произведения трех множителей.

Ответ: $2a(3x + y)(b^2 + 2)$

4) Рассмотрим выражение $5xy^2(x^2 - x + 1) - 15x^2y(x^2 - x + 1)$. Общим множителем является выражение в скобках $(x^2 - x + 1)$. Также найдем общий множитель для одночленов $5xy^2$ и $15x^2y$.

Найдем НОД для $5xy^2$ и $15x^2y$:

НОД($5, 15$) = $5$.

НОД($x, x^2$) = $x$.

НОД($y^2, y$) = $y$.

Таким образом, общий множитель для одночленов равен $5xy$.

Полный общий множитель, который мы выносим за скобки, равен $5xy(x^2 - x + 1)$.

Выполним вынесение общего множителя:

$5xy^2(x^2 - x + 1) - 15x^2y(x^2 - x + 1) = 5xy(x^2 - x + 1) \cdot (\frac{5xy^2}{5xy} - \frac{15x^2y}{5xy})$.

Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{5xy^2}{5xy} - \frac{15x^2y}{5xy} = y - 3x$.

В результате получаем произведение.

Ответ: $5xy(x^2 - x + 1)(y - 3x)$