Номер 2.104, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2;$

2) $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3;$

3) $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4;$

4) $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3;$

5) $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q;$

6) $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2;$

1) В многочлене $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2$ находим общий множитель. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 3, -9 и 6 равен 3. Для переменной $x$ наименьшая степень, с которой она входит во все члены ($x^2$, $x^2$, $x^1$), равна 1, поэтому общим множителем будет $x$. Переменная $y$ входит не во все члены многочлена, поэтому ее нельзя вынести за скобки. Таким образом, общий множитель равен $3x$.

Выносим $3x$ за скобки: $3x^2 - 9x^2y + 6xy^2 = 3x \cdot x - 3x \cdot 3xy + 3x \cdot 2y^2 = 3x(x - 3xy + 2y^2)$.

Ответ: $3x(x - 3xy + 2y^2)$

2) В многочлене $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3$ находим общий множитель. НОД для коэффициентов 15, -25 и -10 равен 5. Для переменной $a$ наименьшая степень, с которой она входит во все члены ($a^2$, $a^2$, $a^3$), равна 2, поэтому общим множителем будет $a^2$. Переменная $b$ входит не во все члены. Общий множитель равен $5a^2$.

Выносим $5a^2$ за скобки: $15a^2 - 25a^2b^2 - 10a^3 = 5a^2 \cdot 3 - 5a^2 \cdot 5b^2 - 5a^2 \cdot 2a = 5a^2(3 - 5b^2 - 2a)$.

Ответ: $5a^2(3 - 5b^2 - 2a)$

3) В многочлене $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4$ находим общий множитель. НОД для коэффициентов 6, -9 и 12 равен 3. Для переменной $b$ наименьшая степень, с которой она входит во все члены ($b^2$, $b^3$, $b^4$), равна 2, поэтому общим множителем будет $b^2$. Переменная $a$ входит не во все члены. Общий множитель равен $3b^2$.

Выносим $3b^2$ за скобки: $6ab^2 - 9b^3 + 12b^4 = 3b^2 \cdot 2a - 3b^2 \cdot 3b + 3b^2 \cdot 4b^2 = 3b^2(2a - 3b + 4b^2)$.

Ответ: $3b^2(2a - 3b + 4b^2)$

4) В многочлене $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3$ находим общий множитель. НОД для коэффициентов 14, -21 и -35 равен 7. Для переменной $m$ наименьшая степень равна 1 ($m^2$, $m^1$, $m^1$), выносим $m$. Для переменной $n$ наименьшая степень равна 1 ($n^1$, $n^2$, $n^3$), выносим $n$. Общий множитель равен $7mn$.

Выносим $7mn$ за скобки: $14m^2n - 21mn^2 - 35mn^3 = 7mn \cdot 2m - 7mn \cdot 3n - 7mn \cdot 5n^2 = 7mn(2m - 3n - 5n^2)$.

Ответ: $7mn(2m - 3n - 5n^2)$

5) В многочлене $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q$ находим общий множитель. НОД для коэффициентов 30, 18 и -12 равен 6. Для переменной $p$ наименьшая степень равна 1 ($p^1$, $p^2$, $p^3$), выносим $p$. Для переменной $q$ наименьшая степень равна 1 ($q^3$, $q^2$, $q^1$), выносим $q$. Общий множитель равен $6pq$.

Выносим $6pq$ за скобки: $30pq^3 + 18p^2q^2 - 12p^3q = 6pq \cdot 5q^2 + 6pq \cdot 3pq - 6pq \cdot 2p^2 = 6pq(5q^2 + 3pq - 2p^2)$.

Ответ: $6pq(5q^2 + 3pq - 2p^2)$

6) В многочлене $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2$ находим общий множитель. НОД для коэффициентов 8, -12 и 16 равен 4. Для переменной $x$ наименьшая степень равна 2 ($x^4$, $x^2$, $x^3$), выносим $x^2$. Для переменной $y$ наименьшая степень равна 2 ($y^3$, $y^2$, $y^2$), выносим $y^2$. Общий множитель равен $4x^2y^2$.

Выносим $4x^2y^2$ за скобки: $8x^4y^3 - 12x^2y^2 + 16x^3y^2 = 4x^2y^2 \cdot 2x^2y - 4x^2y^2 \cdot 3 + 4x^2y^2 \cdot 4x = 4x^2y^2(2x^2y - 3 + 4x)$.

Ответ: $4x^2y^2(2x^2y - 3 + 4x)$