Номер 2.103, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.103. Представьте многочлен в виде произведения:

1) $4a^3b-6a^2b^2;$

2) $5x^2y+10xy^2;$

3) $14m^3n-21m^2n^3;$

4) $5x^3-15x^2y+20xy^2;$

5) $2a^2y-6ay^2+8y;$

6) $6ax-9a^2+15ax^2.$

1) Чтобы представить многочлен $4a^3b - 6a^2b^2$ в виде произведения, найдем общий множитель для каждого члена многочлена.

Наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 4 и 6 равен 2.

Для переменных находим наименьшую степень, в которой они входят в каждый член. Для $a$ это $a^2$ (так как есть $a^3$ и $a^2$), а для $b$ это $b$ (так как есть $b$ и $b^2$).

Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, — это $2a^2b$.

Разделим каждый член многочлена на этот общий множитель:

$\frac{4a^3b}{2a^2b} = 2a$

$\frac{-6a^2b^2}{2a^2b} = -3b$

Таким образом, исходный многочлен можно записать как произведение: $4a^3b - 6a^2b^2 = 2a^2b(2a - 3b)$.

Ответ: $2a^2b(2a - 3b)$

2) Рассмотрим многочлен $5x^2y + 10xy^2$.

Найдем НОД для коэффициентов 5 и 10, он равен 5.

Общий множитель для переменных — это $xy$, так как $x$ входит в наименьшей степени 1 и $y$ входит в наименьшей степени 1.

Общий множитель для вынесения за скобки: $5xy$.

Выполним деление:

$\frac{5x^2y}{5xy} = x$

$\frac{10xy^2}{5xy} = 2y$

Получаем произведение: $5x^2y + 10xy^2 = 5xy(x + 2y)$.

Ответ: $5xy(x + 2y)$

3) Представим в виде произведения многочлен $14m^3n - 21m^2n^3$.

НОД для коэффициентов 14 и 21 равен 7.

Общий множитель для переменных: для $m$ — это $m^2$, для $n$ — это $n$. Итого $m^2n$.

Общий множитель, выносимый за скобки, — $7m^2n$.

Разделим члены многочлена на общий множитель:

$\frac{14m^3n}{7m^2n} = 2m$

$\frac{-21m^2n^3}{7m^2n} = -3n^2$

В итоге получаем: $14m^3n - 21m^2n^3 = 7m^2n(2m - 3n^2)$.

Ответ: $7m^2n(2m - 3n^2)$

4) Рассмотрим многочлен $5x^3 - 15x^2y + 20xy^2$.

НОД для коэффициентов 5, 15 и 20 равен 5.

Переменная $x$ входит во все члены многочлена. Наименьшая степень $x$ равна 1. Переменная $y$ не входит в первый член, поэтому ее нельзя вынести за скобки как общий множитель.

Общий множитель для вынесения за скобки — $5x$.

Выполним деление каждого члена на $5x$:

$\frac{5x^3}{5x} = x^2$

$\frac{-15x^2y}{5x} = -3xy$

$\frac{20xy^2}{5x} = 4y^2$

Таким образом, разложение на множители выглядит так: $5x^3 - 15x^2y + 20xy^2 = 5x(x^2 - 3xy + 4y^2)$.

Ответ: $5x(x^2 - 3xy + 4y^2)$

5) Представим в виде произведения многочлен $2a^2y - 6ay^2 + 8y$.

НОД для коэффициентов 2, 6 и 8 равен 2.

Переменная $y$ входит во все члены многочлена с наименьшей степенью 1. Переменная $a$ не входит в третий член.

Общий множитель, который можно вынести за скобки, — $2y$.

Разделим каждый член многочлена на $2y$:

$\frac{2a^2y}{2y} = a^2$

$\frac{-6ay^2}{2y} = -3ay$

$\frac{8y}{2y} = 4$

Получаем произведение: $2a^2y - 6ay^2 + 8y = 2y(a^2 - 3ay + 4)$.

Ответ: $2y(a^2 - 3ay + 4)$

6) Разложим на множители многочлен $6ax - 9a^2 + 15ax^2$.

НОД для коэффициентов 6, 9 и 15 равен 3.

Переменная $a$ входит во все члены многочлена с наименьшей степенью 1. Переменная $x$ не входит во второй член.

Общий множитель для вынесения за скобки — $3a$.

Выполним деление:

$\frac{6ax}{3a} = 2x$

$\frac{-9a^2}{3a} = -3a$

$\frac{15ax^2}{3a} = 5x^2$

Запишем результат в виде произведения, для удобства упорядочив члены в скобках по убыванию степени $x$: $6ax - 9a^2 + 15ax^2 = 3a(2x - 3a + 5x^2) = 3a(5x^2 + 2x - 3a)$.

Ответ: $3a(5x^2 + 2x - 3a)$