Номер 2.109, страница 69 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.109. Вынесите общий множитель за скобки:

1) $4a^3b-10a^2b^2+2ab^3;$

2) $18x^3y+21x^2y^2-3xy^3;$

3) $8x^5y^2-12x^4y^2+12x^3y^2-4x^2y^2;$

4) $-20x^2y^3z^2-35x^3y^2z^3+15x^3y^2z^2;$

5) $16a^5b-8a^4b^3-6a^3b^3+10a^2b^4;$

6) $6a^4x^3-15a^3x^4+15a^2x^5-9ax^6.$

1) В выражении $4a³b - 10a²b² + 2ab³$ нужно найти общий множитель для всех членов.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов: 4, 10 и 2. НОД(4, 10, 2) = 2.

Затем найдем общий множитель для переменных. Для этого берем каждую переменную с наименьшей степенью, в которой она встречается в выражении.

Переменная $a$ встречается в степенях 3, 2, 1. Наименьшая степень – 1. Значит, общий множитель содержит $a¹ = a$.

Переменная $b$ встречается в степенях 1, 2, 3. Наименьшая степень – 1. Значит, общий множитель содержит $b¹ = b$.

Таким образом, общий множитель равен $2ab$. Теперь разделим каждый член многочлена на этот общий множитель:

$4a³b : (2ab) = 2a²$

$-10a²b² : (2ab) = -5ab$

$2ab³ : (2ab) = b²$

Записываем общий множитель перед скобками, а в скобках — результаты деления:

$2ab(2a² - 5ab + b²)$

Ответ: $2ab(2a² - 5ab + b²)$

2) В выражении $18x³y + 21x²y² - 3xy³$.

НОД коэффициентов 18, 21, 3 равен 3.

Для переменных: наименьшая степень $x$ — это $x¹=x$, наименьшая степень $y$ — это $y¹=y$.

Общий множитель — $3xy$.

Делим каждый член на $3xy$:

$18x³y : (3xy) = 6x²$

$21x²y² : (3xy) = 7xy$

$-3xy³ : (3xy) = -y²$

Результат:

$3xy(6x² + 7xy - y²)$

Ответ: $3xy(6x² + 7xy - y²)$

3) В выражении $8x⁵y² - 12x⁴y² + 12x³y² - 4x²y²$.

НОД коэффициентов 8, 12, 12, 4 равен 4.

Для переменных: наименьшая степень $x$ — это $x²$, наименьшая степень $y$ — это $y²$.

Общий множитель — $4x²y²$.

Делим каждый член на $4x²y²$:

$8x⁵y² : (4x²y²) = 2x³$

$-12x⁴y² : (4x²y²) = -3x²$

$12x³y² : (4x²y²) = 3x$

$-4x²y² : (4x²y²) = -1$

Результат:

$4x²y²(2x³ - 3x² + 3x - 1)$

Ответ: $4x²y²(2x³ - 3x² + 3x - 1)$

4) В выражении $-20x²y³z² - 35x³y²z³ + 15x³y²z²$.

НОД коэффициентов 20, 35, 15 равен 5. Так как первый член отрицательный, удобно вынести за скобки -5.

Для переменных: наименьшая степень $x$ — это $x²$, наименьшая степень $y$ — это $y²$, наименьшая степень $z$ — это $z²$.

Общий множитель — $-5x²y²z²$.

Делим каждый член на $-5x²y²z²$:

$-20x²y³z² : (-5x²y²z²) = 4y$

$-35x³y²z³ : (-5x²y²z²) = 7xz$

$15x³y²z² : (-5x²y²z²) = -3x$

Результат:

$-5x²y²z²(4y + 7xz - 3x)$

Ответ: $-5x²y²z²(4y + 7xz - 3x)$

5) В выражении $16a⁵b - 8a⁴b³ - 6a³b³ + 10a²b⁴$.

НОД коэффициентов 16, 8, 6, 10 равен 2.

Для переменных: наименьшая степень $a$ — это $a²$, наименьшая степень $b$ — это $b$.

Общий множитель — $2a²b$.

Делим каждый член на $2a²b$:

$16a⁵b : (2a²b) = 8a³$

$-8a⁴b³ : (2a²b) = -4a²b²$

$-6a³b³ : (2a²b) = -3ab²$

$10a²b⁴ : (2a²b) = 5b³$

Результат:

$2a²b(8a³ - 4a²b² - 3ab² + 5b³)$

Ответ: $2a²b(8a³ - 4a²b² - 3ab² + 5b³)$

6) В выражении $6a⁴x³ - 15a³x⁴ + 15a²x⁵ - 9ax⁶$.

НОД коэффициентов 6, 15, 15, 9 равен 3.

Для переменных: наименьшая степень $a$ — это $a$, наименьшая степень $x$ — это $x³$.

Общий множитель — $3ax³$.

Делим каждый член на $3ax³$:

$6a⁴x³ : (3ax³) = 2a³$

$-15a³x⁴ : (3ax³) = -5a²x$

$15a²x⁵ : (3ax³) = 5ax²$

$-9ax⁶ : (3ax³) = -3x³$

Результат:

$3ax³(2a³ - 5a²x + 5ax² - 3x³)$

Ответ: $3ax³(2a³ - 5a²x + 5ax² - 3x³)$