Номер 3.107, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.107. Используя график функции $y=x^2$, постройте графики функций:

1) $y=2x^2$;

2) $y=\frac{1}{2}x^2$;

3) $y=-x^2$;

4) $y=-2x^2$;

5) $y=-\frac{1}{2}x^2$.

Для построения всех указанных графиков будем использовать преобразования базового графика функции $y=x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вверх. Она проходит через точки $(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)$.

1) $y=2x^2$

График этой функции получается из графика $y=x^2$ путем его растяжения вдоль оси ординат (оси OY) в 2 раза. Это означает, что для каждой точки на графике $y=x^2$ нужно сохранить ее абсциссу (x), а ординату (y) умножить на 2. Вершина параболы останется в точке $(0,0)$.

Например:

• Точка $(1, 1)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(1, 1 \cdot 2) = (1, 2)$.
• Точка $(2, 4)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(2, 4 \cdot 2) = (2, 8)$.

Полученная парабола будет более "узкой" или "вытянутой" по сравнению с $y=x^2$.

Ответ: График функции $y=2x^2$ строится путем растяжения параболы $y=x^2$ от оси абсцисс (OX) в 2 раза.

2) $y=\frac{1}{2}x^2$

График этой функции получается из графика $y=x^2$ путем его сжатия к оси абсцисс (оси OX) в 2 раза. Это означает, что для каждой точки на графике $y=x^2$ нужно сохранить ее абсциссу (x), а ординату (y) разделить на 2 (или умножить на $\frac{1}{2}$). Вершина параболы останется в точке $(0,0)$.

Например:

• Точка $(1, 1)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(1, 1 \cdot \frac{1}{2}) = (1, 0.5)$.
• Точка $(2, 4)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(2, 4 \cdot \frac{1}{2}) = (2, 2)$.

Полученная парабола будет более "широкой" или "приплюснутой" по сравнению с $y=x^2$.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{2}x^2$ строится путем сжатия параболы $y=x^2$ к оси абсцисс (OX) в 2 раза.

3) $y=-x^2$

График этой функции получается из графика $y=x^2$ путем его симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси OX). Это означает, что для каждой точки на графике $y=x^2$ нужно сохранить ее абсциссу (x), а ординату (y) умножить на -1. Вершина параболы останется в точке $(0,0)$, но ветви будут направлены вниз.

Например:

• Точка $(1, 1)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(1, -1)$.
• Точка $(2, 4)$ на графике $y=x^2$ перейдет в точку $(2, -4)$.

Ответ: График функции $y=-x^2$ строится путем симметричного отражения параболы $y=x^2$ относительно оси абсцисс (OX).

4) $y=-2x^2$

Построение этого графика можно выполнить в два шага:

1. Построить график $y=2x^2$ путем растяжения параболы $y=x^2$ от оси OX в 2 раза (как в пункте 1).
2. Полученный график $y=2x^2$ симметрично отразить относительно оси OX.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз и которая является более "узкой", чем $y=-x^2$.

Ответ: График функции $y=-2x^2$ строится путем растяжения параболы $y=x^2$ от оси абсцисс (OX) в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси OX.

5) $y=-\frac{1}{2}x^2$

Построение этого графика также можно выполнить в два шага:

1. Построить график $y=\frac{1}{2}x^2$ путем сжатия параболы $y=x^2$ к оси OX в 2 раза (как в пункте 2).
2. Полученный график $y=\frac{1}{2}x^2$ симметрично отразить относительно оси OX.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(0,0)$, ветви которой направлены вниз и которая является более "широкой", чем $y=-x^2$.

Ответ: График функции $y=-\frac{1}{2}x^2$ строится путем сжатия параболы $y=x^2$ к оси абсцисс (OX) в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси OX.