Номер 3.112, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.112. В одной и той же системе координат постройте графики функций $y=x^2$ и $y=x^3$, где $x>0$. Пользуясь построенными графиками, сравните числа:

1) $0.5^2$ и $0.5^3$;

2) $1.5^2$ и $1.5^3$.

Для построения графиков функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x>0$ в одной системе координат, проанализируем их поведение.

Сначала найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение:

$x^2 = x^3$

$x^3 - x^2 = 0$

$x^2(x - 1) = 0$

Корнями уравнения являются $x=0$ и $x=1$. Так как по условию $x>0$, нас интересует поведение графиков в первой координатной четверти. Графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Теперь определим, как графики расположены относительно друг друга на интервалах, образованных точками пересечения.

1. На интервале $(0, 1)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=0.5$.

Для $y=x^2$: $y = (0.5)^2 = 0.25$.

Для $y=x^3$: $y = (0.5)^3 = 0.125$.

Поскольку $0.25 > 0.125$, на интервале $(0, 1)$ график функции $y=x^2$ находится выше графика функции $y=x^3$.

2. На интервале $(1, +\infty)$. Возьмем для проверки любое число из этого интервала, например, $x=2$.

Для $y=x^2$: $y = 2^2 = 4$.

Для $y=x^3$: $y = 2^3 = 8$.

Поскольку $8 > 4$, на интервале $(1, +\infty)$ график функции $y=x^3$ находится выше графика функции $y=x^2$.

Итак, при построении оба графика выходят из начала координат $(0,0)$. В интервале от $0$ до $1$ график $y=x^2$ лежит выше графика $y=x^3$. В точке $(1,1)$ они пересекаются, и при $x>1$ график $y=x^3$ уходит вверх круче и оказывается выше графика $y=x^2$.

Используя этот анализ, сравним предложенные числа.

1) 0,5² и 0,5³

Сравнение чисел $0.5^2$ и $0.5^3$ — это сравнение значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=0.5$. Поскольку $x=0.5$ находится в интервале $(0, 1)$, а на этом интервале график $y=x^2$ расположен выше графика $y=x^3$, то значение $x^2$ будет больше значения $x^3$. Следовательно, $0.5^2 > 0.5^3$.

Ответ: $0.5^2 > 0.5^3$.

2) 1,5² и 1,5³

Сравнение чисел $1.5^2$ и $1.5^3$ — это сравнение значений функций $y=x^2$ и $y=x^3$ при $x=1.5$. Поскольку $x=1.5$ находится в интервале $(1, +\infty)$, а на этом интервале график $y=x^3$ расположен выше графика $y=x^2$, то значение $x^3$ будет больше значения $x^2$. Следовательно, $1.5^3 > 1.5^2$.

Ответ: $1.5^2 < 1.5^3$.