Номер 3.109, страница 112 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.109. Используя график функции $y=x^3$, постройте графики функций:

1) $y=-x^3$;

2) $y=2x^3$;

3) $y=-2x^3$;

4) $y=\frac{1}{2}x^3$;

5) $y=-\frac{1}{2}x^3$.

1) Для построения графика функции $y = -x^3$, необходимо взять график функции $y = x^3$ и симметрично отразить его относительно оси абсцисс (оси $Ox$). Это означает, что для каждой точки $(x_0, y_0)$ на графике $y = x^3$, соответствующая точка на графике $y = -x^3$ будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, -1)$, а точка $(-2, -8)$ перейдет в точку $(-2, 8)$.

Ответ: график функции $y = -x^3$ получается симметричным отражением графика функции $y = x^3$ относительно оси абсцисс.

2) График функции $y = 2x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем растяжения вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза. Ордината каждой точки графика умножается на 2. То есть, каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = x^3$ переходит в точку $(x_0, 2y_0)$ на новом графике. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ — в точку $(-1, -2)$.

Ответ: график функции $y = 2x^3$ получается растяжением графика функции $y = x^3$ вдоль оси ординат в 2 раза.

3) Для построения графика функции $y = -2x^3$ можно выполнить два последовательных преобразования графика $y = x^3$. Сначала выполнить растяжение графика вдоль оси ординат в 2 раза, получив график $y = 2x^3$. Затем полученный график симметрично отразить относительно оси абсцисс. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, -2y_0)$. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, -2)$.

Ответ: график функции $y = -2x^3$ получается растяжением графика функции $y = x^3$ вдоль оси ординат в 2 раза и последующим симметричным отражением относительно оси абсцисс.

4) График функции $y = \frac{1}{2}x^3$ получается из графика функции $y = x^3$ путем сжатия вдоль оси ординат (оси $Oy$) в 2 раза (или, что то же самое, растяжением с коэффициентом $\frac{1}{2}$). Ордината каждой точки графика умножается на $\frac{1}{2}$. Каждая точка $(x_0, y_0)$ графика $y = x^3$ переходит в точку $(x_0, \frac{1}{2}y_0)$ на новом графике. Например, точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(1, \frac{1}{2})$, а точка $(2, 8)$ — в точку $(2, 4)$.

Ответ: график функции $y = \frac{1}{2}x^3$ получается сжатием графика функции $y = x^3$ вдоль оси ординат в 2 раза.

5) Для построения графика функции $y = -\frac{1}{2}x^3$, необходимо выполнить два последовательных преобразования графика $y = x^3$. Сначала выполнить сжатие графика вдоль оси ординат в 2 раза, получив график $y = \frac{1}{2}x^3$. Затем полученный график симметрично отразить относительно оси абсцисс. Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика переходит в точку $(x_0, -\frac{1}{2}y_0)$. Например, точка $(2, 8)$ перейдет в точку $(2, -4)$.

Ответ: график функции $y = -\frac{1}{2}x^3$ получается сжатием графика функции $y = x^3$ вдоль оси ординат в 2 раза и последующим симметричным отражением относительно оси абсцисс.