Номер 3.101, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.101. При каких условиях прямая $ax + by = c$:

1) параллельна оси $\text{Ox}$;

2) параллельна оси $\text{Oy}$;

3) проходит через начало координат;

4) параллельна прямой $2x - 3y = 7$;

5) перпендикулярна прямой $2x - y = 7$?

1) Прямая с общим уравнением $ax + by = c$ параллельна оси абсцисс $Ox$, если она является горизонтальной прямой. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = \text{const}$. Чтобы получить уравнение такого вида из общего, необходимо, чтобы коэффициент при переменной $x$ был равен нулю, то есть $a=0$. При этом, чтобы уравнение задавало прямую, коэффициент при $y$ не может быть равен нулю, то есть $b \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $by = c$, или $y = c/b$. Коэффициент $c$ может быть любым. Если $c=0$, прямая совпадает с осью $Ox$.

Ответ: $a=0$, $b \neq 0$.

2) Прямая $ax + by = c$ параллельна оси ординат $Oy$, если она является вертикальной прямой. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = \text{const}$. Чтобы получить уравнение такого вида из общего, необходимо, чтобы коэффициент при переменной $y$ был равен нулю, то есть $b=0$. При этом, чтобы уравнение задавало прямую, коэффициент при $x$ не может быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. В этом случае уравнение принимает вид $ax = c$, или $x = c/a$. Коэффициент $c$ может быть любым. Если $c=0$, прямая совпадает с осью $Oy$.

Ответ: $b=0$, $a \neq 0$.

3) Прямая проходит через начало координат, точку $O(0, 0)$, если координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнение $ax + by = c$: $a \cdot 0 + b \cdot 0 = c$, откуда получаем $0 = c$. При этом, чтобы уравнение задавало прямую, коэффициенты $a$ и $b$ не должны быть одновременно равны нулю (то есть $a^2 + b^2 \neq 0$).

Ответ: $c=0$.

4) Две прямые $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ параллельны, если их нормальные векторы $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ коллинеарны. Это означает, что их координаты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2}$ (при $A_2, B_2 \neq 0$). Для прямых $ax + by = c$ и $2x - 3y = 7$ нормальные векторы равны $\vec{n_1}=(a, b)$ и $\vec{n_2}=(2, -3)$. Условие коллинеарности: $\frac{a}{2} = \frac{b}{-3}$ Используя основное свойство пропорции, получаем: $a \cdot (-3) = b \cdot 2$ $-3a = 2b$ $3a + 2b = 0$ Это условие выполняется, если прямые параллельны или совпадают.

Ответ: $3a + 2b = 0$.

5) Две прямые $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ перпендикулярны, если скалярное произведение их нормальных векторов $\vec{n_1}=(A_1, B_1)$ и $\vec{n_2}=(A_2, B_2)$ равно нулю: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$. Для прямых $ax + by = c$ и $2x - y = 7$ нормальные векторы равны $\vec{n_1}=(a, b)$ и $\vec{n_2}=(2, -1)$. Условие перпендикулярности (ортогональности векторов): $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$ $a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 0$ $2a - b = 0$

Ответ: $2a - b = 0$.