Номер 3.95, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.95. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $\begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1.5y = -2. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений $\begin{cases} x - 2y = -1, \\ 2x + y = 3; \end{cases}$ графическим способом, построим графики каждого уравнения. Оба уравнения являются линейными, их графики — прямые линии.

Первое уравнение: $x - 2y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $2y = x + 1$, следовательно $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=1$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = 1$. Получаем точку $(1; 1)$.

Если $x=-1$, то $y = \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} = 0$. Получаем точку $(-1; 0)$.

Второе уравнение: $2x + y = 3$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 3$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=0$, то $y = -2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.

Если $x=1$, то $y = -2 \cdot 1 + 3 = 1$. Получаем точку $(1; 1)$.

Построив графики прямых $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ и $y = -2x + 3$ в одной системе координат, найдем их точку пересечения. Координаты этой точки и являются решением системы. В данном случае точка пересечения имеет координаты $(1; 1)$.

Ответ: $(1; 1)$.

2) Для решения системы уравнений $\begin{cases} x - y = 8, \\ x + y = -3; \end{cases}$ графическим способом, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение: $x - y = 8$. Выразим $y$ через $x$: $y = x - 8$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=0$, то $y = 0 - 8 = -8$. Получаем точку $(0; -8)$.

Если $x=8$, то $y = 8 - 8 = 0$. Получаем точку $(8; 0)$.

Второе уравнение: $x + y = -3$. Выразим $y$ через $x$: $y = -x - 3$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=0$, то $y = -0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.

Если $x=-3$, то $y = -(-3) - 3 = 0$. Получаем точку $(-3; 0)$.

Построив графики прямых $y = x - 8$ и $y = -x - 3$ в одной системе координат, найдем их точку пересечения. В данном случае точка пересечения имеет координаты $(2.5; -5.5)$.

Ответ: $(2.5; -5.5)$.

3) Для решения системы уравнений $\begin{cases} 3x + 4y = 2, \\ 5x - 2y = -1; \end{cases}$ графическим способом, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение: $3x + 4y = 2$. Выразим $y$ через $x$: $4y = -3x + 2$, следовательно $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=2$, то $y = -\frac{3}{4} \cdot 2 + \frac{1}{2} = -1.5 + 0.5 = -1$. Получаем точку $(2; -1)$.

Если $x=-2$, то $y = -\frac{3}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{2} = 1.5 + 0.5 = 2$. Получаем точку $(-2; 2)$.

Второе уравнение: $5x - 2y = -1$. Выразим $y$ через $x$: $2y = 5x + 1$, следовательно $y = \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=0$, то $y = \frac{5}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2} = 0.5$. Получаем точку $(0; 0.5)$.

Если $x=1$, то $y = \frac{5}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = 3$. Получаем точку $(1; 3)$.

Построив графики прямых $y = -\frac{3}{4}x + \frac{1}{2}$ и $y = \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$ в одной системе координат, найдем их точку пересечения. В данном случае точка пересечения имеет координаты $(0; 0.5)$.

Ответ: $(0; 0.5)$.

4) Для решения системы уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ -x + 1.5y = -2; \end{cases}$ графическим способом, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение: $2x - 3y = 4$. Выразим $y$ через $x$: $3y = 2x - 4$, следовательно $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$. Построим эту прямую по двум точкам.

Если $x=2$, то $y = \frac{2}{3} \cdot 2 - \frac{4}{3} = 0$. Получаем точку $(2; 0)$.

Если $x=-1$, то $y = \frac{2}{3} \cdot (-1) - \frac{4}{3} = -2$. Получаем точку $(-1; -2)$.

Второе уравнение: $-x + 1.5y = -2$. Выразим $y$ через $x$: $1.5y = x - 2$, или $\frac{3}{2}y = x - 2$, следовательно $y = \frac{2}{3}(x-2) = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$.

Мы видим, что оба уравнения могут быть приведены к одному и тому же виду $y = \frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$. Это означает, что графики обоих уравнений совпадают. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений. Решением является любая пара чисел $(x; y)$, удовлетворяющая уравнению $2x - 3y = 4$.