Номер 3.88, страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.88. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $\begin{cases} y = x, \\ x + 2y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 0, \\ 2x + y = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y = 2, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений графическим способом построим графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Первое уравнение: $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через начало координат. Для построения достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

Второе уравнение: $x + 2y = 2$. Это линейное уравнение, его график — прямая. Для построения найдем две точки, например, точки пересечения с осями координат.

Если $x = 0$, то $2y = 2$, откуда $y = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.

Если $y = 0$, то $x = 2$. Получаем точку $(2, 0)$.

Проведем прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точные координаты этой точки, решим систему уравнений аналитически. Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$x + 2(x) = 2$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Поскольку $y=x$, то $y = \frac{2}{3}$.

Точка пересечения графиков — $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$.

Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

2) Построим графики уравнений $x - 2y = 0$ и $2x + y = 5$.

Первое уравнение: $x - 2y = 0$. Выразим $y$ через $x$: $2y = x$, откуда $y = \frac{1}{2}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Возьмем еще одну точку, например, при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Точка $(2, 1)$. Проведем прямую через $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Второе уравнение: $2x + y = 5$. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 5$. Это прямая. Найдем две точки для ее построения:

Если $x = 0$, то $y = 5$. Точка $(0, 5)$.

Если $x = 2$, то $y = -2(2) + 5 = -4 + 5 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Проведем прямую через точки $(0, 5)$ и $(2, 1)$.

Обе прямые проходят через точку $(2, 1)$, следовательно, это и есть точка их пересечения и решение системы.

Ответ: $(2, 1)$

3) Построим графики уравнений $x + y = 2$ и $2x - 3y = 9$.

Первое уравнение: $x + y = 2$. Выразим $y$: $y = -x + 2$. Это прямая. Найдем точки пересечения с осями:

Если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.

Если $y = 0$, то $x = 2$. Точка $(2, 0)$.

Проведем прямую через эти точки.

Второе уравнение: $2x - 3y = 9$. Выразим $y$: $3y = 2x - 9$, откуда $y = \frac{2}{3}x - 3$. Это прямая. Найдем две точки для построения:

Если $x = 0$, то $y = -3$. Точка $(0, -3)$.

Если $x = 3$, то $y = \frac{2}{3}(3) - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(3, -1)$.

Проведем прямую через точки $(0, -3)$ и $(3, -1)$.

Найдем точку пересечения построенных графиков. Из построения видно, что это точка $(3, -1)$.

Проверим, подставив эти координаты в оба уравнения:

Для первого: $3 + (-1) = 2$, что верно.

Для второго: $2(3) - 3(-1) = 6 + 3 = 9$, что также верно.

Точка $(3, -1)$ является решением системы.

Ответ: $(3, -1)$