Номер 3.84, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.84. Сколько решений имеет система уравнений $$\begin{cases} y = 2x, \\ x - y = 3 \end{cases}$$?

Какая из указанных пар чисел является решением этой системы:

1) $x = 1, y = 2;$

2) $x = 3, y = 0;$

3) $x = -3, y = -6?$

Проверьте это графическим способом.

Для определения количества решений системы уравнений решим её методом подстановки. Дана система:

$ \begin{cases} y = 2x \\ x - y = 3 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x - (2x) = 3$

$-x = 3$

$x = -3$

Теперь найдём $y$, подставив значение $x = -3$ в первое уравнение:

$y = 2 \cdot (-3)$

$y = -6$

Поскольку существует только одна пара чисел $(x, y) = (-3, -6)$, которая удовлетворяет обоим уравнениям, система имеет ровно одно решение.

Ответ: система имеет одно решение.

Какая из указанных пар чисел является решением этой системы: 1) $x = 1, y = 2$; 2) $x = 3, y = 0$; 3) $x = -3, y = -6$?

Чтобы определить, какая пара является решением, нужно подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения системы. Решением будет та пара, которая обращает оба уравнения в верные равенства.

1) Проверка пары $x = 1, y = 2$:

Первое уравнение: $y = 2x \rightarrow 2 = 2 \cdot 1 \rightarrow 2 = 2$ (верно).

Второе уравнение: $x - y = 3 \rightarrow 1 - 2 = 3 \rightarrow -1 = 3$ (неверно).

Пара $(1, 2)$ не является решением.

2) Проверка пары $x = 3, y = 0$:

Первое уравнение: $y = 2x \rightarrow 0 = 2 \cdot 3 \rightarrow 0 = 6$ (неверно).

Пара $(3, 0)$ не является решением.

3) Проверка пары $x = -3, y = -6$:

Первое уравнение: $y = 2x \rightarrow -6 = 2 \cdot (-3) \rightarrow -6 = -6$ (верно).

Второе уравнение: $x - y = 3 \rightarrow -3 - (-6) = 3 \rightarrow 3 = 3$ (верно).

Пара $(-3, -6)$ является решением, так как удовлетворяет обоим уравнениям.

Ответ: решением системы является пара чисел 3) $x = -3, y = -6$.

Проверьте это графическим способом.

Для графической проверки необходимо построить графики обоих уравнений в одной системе координат. Решением системы являются координаты точки пересечения этих графиков.

1. График уравнения $y = 2x$ — это прямая линия. Она проходит через начало координат $(0, 0)$. Для построения найдем еще одну точку: при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

2. График уравнения $x - y = 3$ — также прямая линия. Приведем уравнение к виду $y = x - 3$. Для построения найдем две точки. При $x=0$, $y=0-3=-3$, точка $(0, -3)$. При $y=0$, $0=x-3 \implies x=3$, точка $(3, 0)$.

Построив эти две прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки и есть решение системы. Визуально точка пересечения имеет координаты $(-3, -6)$.

Этот результат совпадает с решением, найденным алгебраически. Таким образом, графический метод подтверждает, что решением системы является пара $(-3, -6)$.

Ответ: графики уравнений системы ($y=2x$ и $x-y=3$) пересекаются в точке с координатами $(-3, -6)$, что подтверждает правильность найденного решения.