Номер 3.78, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.78. По рисунку 3.20 напишите уравнения прямых $\text{a}$ и $\text{b}$. По графику найдите приближенные значения координат точки $\text{C}$, проверьте точность аналитическим способом.

Рис. 3.20

Напишите уравнения прямых a и b

Для нахождения уравнений прямых используем их общий вид $y = kx + c$, где $k$ - угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой), а $c$ - ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Прямая a:

На графике видно, что прямая $a$ проходит через точки с целочисленными координатами $(-2, 2)$ и $(0, 1)$. Поскольку прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, то $c = 1$. Угловой коэффициент $k$ рассчитаем по двум точкам: $k_a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 2}{0 - (-2)} = \frac{-1}{2}$. Таким образом, уравнение прямой $a$ имеет вид: $y = -\frac{1}{2}x + 1$.

Прямая b:

Прямая $b$ проходит через точки с целочисленными координатами $(-1, 0)$ и $(1, 2)$. Угловой коэффициент $k_b$ равен: $k_b = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1$. Чтобы найти $c$, подставим координаты одной из точек, например $(1, 2)$, и значение $k_b=1$ в уравнение прямой: $2 = 1 \cdot 1 + c_b$, откуда $c_b = 1$. Таким образом, уравнение прямой $b$ имеет вид: $y = x + 1$.

Ответ: Уравнение прямой $a$: $y = -\frac{1}{2}x + 1$. Уравнение прямой $b$: $y = x + 1$.

По графику найдите приближенные значения координат точки С, проверьте точность аналитическим способом

Точка $C$ является точкой пересечения прямых $a$ и $b$. Наблюдая за графиком, можно заметить, что обе прямые проходят через точку $(0, 1)$ на оси ординат. Следовательно, эта точка и является точкой их пересечения.

Приближенные координаты точки $C$, найденные по графику: $C(0, 1)$.

Для проверки точности решим систему уравнений для прямых $a$ и $b$ аналитически: $\begin{cases} y = -\frac{1}{2}x + 1 \\ y = x + 1 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти координату $x$ точки пересечения: $-\frac{1}{2}x + 1 = x + 1$ $-\frac{1}{2}x = x$ $x + \frac{1}{2}x = 0$ $\frac{3}{2}x = 0$ $x = 0$

Теперь найдем координату $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений (например, во второе): $y = 0 + 1 = 1$.

Таким образом, точные координаты точки пересечения $C$ равны $(0, 1)$. Аналитический расчет подтверждает, что значение, найденное по графику, является точным.

Ответ: Приближенные координаты точки $C$ по графику — $(0, 1)$. Точные координаты, полученные аналитическим способом, — $C(0, 1)$.