Номер 3.74, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.74. Напишите уравнение линейной функции, график которой парал

лелен графику функции $y = 2x - 3$ и проходит через точку:

1) A(1; 2);

2) B(2; -1);

3) C(0; 2);

4) D(3; 0). Постройте графики всех этих линейных функций на одной координатной плоскости.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член.

Условие параллельности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты равны. График искомой функции должен быть параллелен графику функции $y = 2x - 3$. Угловой коэффициент данной функции $k = 2$. Следовательно, для всех искомых функций угловой коэффициент также будет равен 2, и их уравнение будет иметь вид $y = 2x + b$.

Чтобы найти коэффициент $b$ для каждого случая, мы подставим координаты данной точки $(x_0; y_0)$ в уравнение $y = 2x + b$ и решим его относительно $b$.

1) Ищем уравнение для прямой, проходящей через точку A(1; 2).

Подставляем координаты $x=1$ и $y=2$ в уравнение вида $y = 2x + b$:

$2 = 2 \cdot 1 + b$

$2 = 2 + b$

$b = 0$

Уравнение искомой функции: $y = 2x$.

Ответ: $y = 2x$

2) Ищем уравнение для прямой, проходящей через точку B(2; -1).

Подставляем координаты $x=2$ и $y=-1$ в уравнение $y = 2x + b$:

$-1 = 2 \cdot 2 + b$

$-1 = 4 + b$

$b = -1 - 4 = -5$

Уравнение искомой функции: $y = 2x - 5$.

Ответ: $y = 2x - 5$

3) Ищем уравнение для прямой, проходящей через точку C(0; 2).

Подставляем координаты $x=0$ и $y=2$ в уравнение $y = 2x + b$:

$2 = 2 \cdot 0 + b$

$2 = 0 + b$

$b = 2$

Уравнение искомой функции: $y = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x + 2$

4) Ищем уравнение для прямой, проходящей через точку D(3; 0).

Подставляем координаты $x=3$ и $y=0$ в уравнение $y = 2x + b$:

$0 = 2 \cdot 3 + b$

$0 = 6 + b$

$b = -6$

Уравнение искомой функции: $y = 2x - 6$.

Ответ: $y = 2x - 6$

Построение графиков

Мы получили четыре уравнения линейных функций:

• $y = 2x$
• $y = 2x - 5$
• $y = 2x + 2$
• $y = 2x - 6$

Все они, а также исходная функция $y = 2x - 3$, имеют одинаковый угловой коэффициент $k=2$. Это означает, что их графики — это семейство параллельных прямых.

Для построения графика каждой линейной функции достаточно найти две точки, через которые она проходит.

1. График функции $y = 2x$.

   Прямая проходит через начало координат (0; 0). В качестве второй точки используем заданную точку A(1; 2). Проводим прямую через точки (0; 0) и (1; 2).

2. График функции $y = 2x - 5$.

   Прямая проходит через заданную точку B(2; -1). Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 2 \cdot 0 - 5 = -5$. Вторая точка - (0; -5). Проводим прямую через точки (2; -1) и (0; -5).

3. График функции $y = 2x + 2$.

   Прямая проходит через заданную точку C(0; 2), которая является точкой пересечения с осью OY. Найдем вторую точку, например, при $x=1$: $y = 2 \cdot 1 + 2 = 4$. Вторая точка - (1; 4). Проводим прямую через точки (0; 2) и (1; 4).

4. График функции $y = 2x - 6$.

   Прямая проходит через заданную точку D(3; 0), которая является точкой пересечения с осью OX. Найдем точку пересечения с осью OY (при $x=0$): $y = 2 \cdot 0 - 6 = -6$. Вторая точка - (0; -6). Проводим прямую через точки (3; 0) и (0; -6).

При построении на одной координатной плоскости все эти пять прямых (включая исходную $y = 2x - 3$) будут параллельны друг другу. Они отличаются только сдвигом по вертикали, который определяется коэффициентом $b$ в уравнении $y = 2x + b$, показывающим точку пересечения графика с осью OY.