Номер 3.77, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.77. Постройте график функции $y=\frac{4}{3}x-1$. Найдите координаты точки, лежащей на полученной прямой, чтобы эти координаты были натуральными числами. Через эту точку проведите прямую, перпендикулярную данной прямой. Найдите угловой коэффициент перпендикулярной прямой и его свободный член.

Для построения графика функции $y = \frac{4}{3}x - 1$ найдем две точки, принадлежащие этой прямой, так как функция является линейной.

1. Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x=0$:

$y = \frac{4}{3} \cdot 0 - 1 = -1$.

Получили точку $(0, -1)$.

2. Для нахождения второй точки с целыми координатами выберем значение $x$, кратное 3, чтобы избавиться от знаменателя. Пусть $x=3$:

$y = \frac{4}{3} \cdot 3 - 1 = 4 - 1 = 3$.

Получили точку $(3, 3)$.

Проведя прямую через точки $(0, -1)$ и $(3, 3)$, получим график данной функции.

Найдите координаты точки, лежащей на полученной прямой, чтобы эти координаты были натуральными числами

Пусть $(x_0, y_0)$ — искомая точка. Ее координаты должны быть натуральными числами (т.е. целыми и положительными) и удовлетворять уравнению прямой $y_0 = \frac{4}{3}x_0 - 1$. Чтобы $y_0$ был целым числом, необходимо, чтобы $x_0$ было кратно 3. Запишем это как $x_0 = 3k$, где $k$ — целое число. Подставим это в уравнение прямой:

$y_0 = \frac{4}{3}(3k) - 1 = 4k - 1$.

Теперь применим условие, что координаты должны быть натуральными:

1. $x_0 > 0 \implies 3k > 0 \implies k > 0$.

2. $y_0 > 0 \implies 4k - 1 > 0 \implies 4k > 1 \implies k > \frac{1}{4}$.

Оба условия должны выполняться одновременно, следовательно, $k$ должно быть целым числом больше нуля. Наименьшее такое значение $k=1$. При $k=1$:

$x_0 = 3 \cdot 1 = 3$

$y_0 = 4 \cdot 1 - 1 = 3$

Таким образом, точка с наименьшими натуральными координатами на данной прямой — это $(3, 3)$.

Ответ: $(3, 3)$.

Найдите угловой коэффициент перпендикулярной прямой и его свободный член

Перпендикулярная прямая должна проходить через найденную точку $(3, 3)$. Уравнение данной прямой $y = \frac{4}{3}x - 1$. Ее угловой коэффициент $k_1 = \frac{4}{3}$. Угловой коэффициент $k_2$ перпендикулярной к ней прямой находится из условия перпендикулярности: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

$\frac{4}{3} \cdot k_2 = -1$

$k_2 = -\frac{3}{4}$.

Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид $y = k_2 x + b$, где $b$ — свободный член.

$y = -\frac{3}{4}x + b$.

Поскольку эта прямая проходит через точку $(3, 3)$, ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставим их, чтобы найти $b$:

$3 = -\frac{3}{4} \cdot 3 + b$

$3 = -\frac{9}{4} + b$

$b = 3 + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} + \frac{9}{4} = \frac{21}{4}$.

Ответ: угловой коэффициент равен $-\frac{3}{4}$, свободный член равен $\frac{21}{4}$.