Вопросы, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

2. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

3. Какова связь между линейным уравнением и линейной функцией? Как записывается линейное уравнение $ax + by = c$ в виде линейной функции? Каким должен быть $\text{b}$?

4. Каков смысл графического метода решения системы уравнений?

1) По рисунку 3.29 запишите уравнения прямых $\text{m}$, $\text{n}$ и $\text{k}$ в виде линейных уравнений.

2) Определите координаты точек $\text{C}$ и $\text{D}$.

3) Используя полученные три линейных уравнения, составьте все возможные системы линейных уравнений. Укажите среди них системы, имеющие единственное решение, и систему, не имеющую решения.

4) Можно ли составить систему, имеющую бесконечно много решений, используя указанные уравнения? Сколько существует таких систем?

Рис. 3.29

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными.

Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причем хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

Ответ: Линейным уравнением с двумя переменными $x$ и $y$ называется уравнение вида $ax + by = c$, где $a$, $b$, $c$ — числа, и $a$ или $b$ не равно нулю.

2. Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Графиком линейного уравнения с двумя переменными $ax + by = c$, в котором хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю, является прямая линия.

Ответ: Графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.

3. Какова связь между линейным уравнением и линейной функцией? Как записывается линейное уравнение ax + by = c в виде линейной функции? Каким должен быть b?

Линейная функция является частным случаем линейного уравнения. Если в линейном уравнении $ax + by = c$ коэффициент $b$ не равен нулю ($b \neq 0$), то это уравнение можно преобразовать к виду линейной функции $y = kx + m$, выразив $y$ через $x$.

Преобразование: $ax + by = c \rightarrow by = -ax + c \rightarrow y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$.

Здесь $k = -\frac{a}{b}$ — угловой коэффициент, а $m = \frac{c}{b}$ — свободный член. Таким образом, чтобы линейное уравнение можно было представить в виде линейной функции, коэффициент $b$ при переменной $y$ должен быть отличен от нуля.

Ответ: Линейное уравнение $ax + by = c$ можно записать в виде линейной функции $y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b}$ при условии, что $b \neq 0$.

4. Каков смысл графического метода решения системы уравнений?

Смысл графического метода решения системы уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Решением системы являются координаты точек пересечения этих графиков, так как именно в этих точках выполняются все уравнения системы одновременно.

Ответ: Смысл графического метода состоит в нахождении координат точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему.

1) По рисунку 3.29 запишите уравнения прямых m, n и k в виде линейных уравнений.

Для каждой прямой найдем ее уравнение в виде $y=kx+b$, а затем преобразуем к виду $ax+by=c$.

Прямая m: Проходит через точки $C(-1.5, 1)$ и, судя по графику, через $(0.5, 0)$.

Угловой коэффициент: $k_m = \frac{1 - 0}{-1.5 - 0.5} = \frac{1}{-2} = -0.5$.

Уравнение: $y - 0 = -0.5(x - 0.5) \rightarrow y = -0.5x + 0.25$.

Преобразуем к линейному виду: $0.5x + y = 0.25$. Умножим на 4, чтобы получить целые коэффициенты: $2x + 4y = 1$.

Прямая n: Проходит через точки $(0, 3.5)$ и $(3.5, 0)$.

Угловой коэффициент: $k_n = \frac{0 - 3.5}{3.5 - 0} = -1$.

Уравнение: $y = -x + 3.5$.

Преобразуем к линейному виду: $x + y = 3.5$. Умножим на 2: $2x + 2y = 7$.

Прямая k: Проходит через точки $C(-1.5, 1)$ и $D(1.5, 2)$.

Угловой коэффициент: $k_k = \frac{2 - 1}{1.5 - (-1.5)} = \frac{1}{3}$.

Уравнение: $y - 2 = \frac{1}{3}(x - 1.5) \rightarrow y - 2 = \frac{1}{3}x - 0.5 \rightarrow y = \frac{1}{3}x + 1.5$.

Преобразуем к линейному виду: $-\frac{1}{3}x + y = 1.5$. Умножим на -6: $2x - 6y = -9$.

Ответ: Уравнение прямой m: $2x + 4y = 1$. Уравнение прямой n: $2x + 2y = 7$. Уравнение прямой k: $2x - 6y = -9$.

2) Определите координаты точек С и D.

Координаты точек определяются по их положению на графике. Пунктирные линии от точек к осям координат помогают их точно определить.

Точка C является точкой пересечения прямых m и k. Ее абсцисса $x = -1.5$, ордината $y = 1$.

Точка D является точкой пересечения прямых n и k. Ее абсцисса $x = 1.5$, ордината $y = 2$.

Ответ: $C(-1.5, 1)$, $D(1.5, 2)$.

3) Используя полученные три линейных уравнения, составьте все возможные системы линейных уравнений. Укажите среди них системы, имеющие единственное решение, и систему, не имеющую решения.

Из трех уравнений (m: $2x + 4y = 1$, n: $2x + 2y = 7$, k: $2x - 6y = -9$) можно составить три системы из двух уравнений.

Система имеет единственное решение, если прямые, являющиеся графиками уравнений, пересекаются. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны. Угловые коэффициенты прямых: $k_m = -0.5$, $k_n = -1$, $k_k = \frac{1}{3}$. Все они различны.

Системы, имеющие единственное решение:

Поскольку все три прямые имеют разные угловые коэффициенты, любая пара прямых будет пересекаться в одной точке. Следовательно, все три возможные системы, составленные из двух уравнений, будут иметь единственное решение:

- система из уравнений прямых m ($2x + 4y = 1$) и n ($2x + 2y = 7$);

- система из уравнений прямых m ($2x + 4y = 1$) и k ($2x - 6y = -9$), решением которой является точка C;

- система из уравнений прямых n ($2x + 2y = 7$) и k ($2x - 6y = -9$), решением которой является точка D.

Система, не имеющая решения:

Система не имеет решения, если у составляющих ее уравнений нет общего решения. В данном случае все три прямые m, n, k не пересекаются в одной общей точке. Поэтому система, состоящая из всех трех уравнений, не имеет решения.

Ответ: Системы, имеющие единственное решение: система из уравнений прямых m и n; система из уравнений прямых m и k; система из уравнений прямых n и k. Система, не имеющая решения: система, состоящая из всех трех уравнений прямых m, n и k.

4) Можно ли составить систему, имеющую бесконечно много решений, используя указанные уравнения? Сколько существует таких систем?

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений, если все уравнения в системе описывают одну и ту же прямую (т.е. являются эквивалентными).

Уравнения прямых m, n и k:

m: $2x + 4y = 1$ ($y = -0.5x + 0.25$)

n: $2x + 2y = 7$ ($y = -x + 3.5$)

k: $2x - 6y = -9$ ($y = \frac{1}{3}x + 1.5$)

Все три уравнения описывают разные прямые, так как у них разные угловые коэффициенты и свободные члены. Следовательно, составляя системы из этих уравнений, невозможно получить систему с бесконечным числом решений.

Ответ: Нет, нельзя. Существует 0 таких систем.