Номер 3.82, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.82. Напишите число $m^{10}$ ($m \neq 0$) в виде степени с основанием:

1) $m^2$;

2) $m^{-5}$;

3) $\frac{1}{m^2}$.

1) Для того чтобы представить число $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^2$, нам нужно найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(m^2)^x = m^{10}$.

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{nk}$. Применяя это свойство, получаем:

$m^{2 \cdot x} = m^{10}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 10$

Решая это уравнение, находим $x$:

$x = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, $m^{10}$ можно записать как $(m^2)^5$.

Ответ: $(m^2)^5$.

2) Аналогично, чтобы представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-5}$, ищем такой показатель $x$, чтобы $(m^{-5})^x = m^{10}$.

Используя то же свойство степеней, получаем:

$m^{-5 \cdot x} = m^{10}$

Приравниваем показатели:

$-5x = 10$

Находим $x$:

$x = \frac{10}{-5} = -2$

Следовательно, $m^{10}$ можно записать как $(m^{-5})^{-2}$.

Ответ: $(m^{-5})^{-2}$.

3) Чтобы представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{m^2}$, сначала преобразуем основание, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$\frac{1}{m^2} = m^{-2}$

Теперь задача сводится к тому, чтобы представить $m^{10}$ в виде степени с основанием $m^{-2}$. Ищем такой показатель $x$, чтобы $(m^{-2})^x = m^{10}$.

По свойству возведения степени в степень:

$m^{-2 \cdot x} = m^{10}$

Приравниваем показатели:

$-2x = 10$

Находим $x$:

$x = \frac{10}{-2} = -5$

Таким образом, $m^{10}$ можно записать как $(m^{-2})^{-5}$, что равносильно $\left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.

Ответ: $\left(\frac{1}{m^2}\right)^{-5}$.