Номер 3.83, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.83. Напишите многочлен в стандартном виде:

1) $(1 + 3a) + (a^2 - 2a) - (2a^2 - a);$

2) $(5x - 12x^2) + (x + 11x^2) - (x^2 - 1).$

1) Чтобы записать многочлен в стандартном виде, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Многочлен стандартного вида — это сумма одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных. Члены многочлена принято записывать в порядке убывания их степеней.

Раскроем скобки в выражении $(1 + 3a) + (a^2 - 2a) - (2a^2 - a)$. Если перед скобкой стоит знак «+», то скобки можно просто опустить. Если перед скобкой стоит знак «–», то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные.

$1 + 3a + a^2 - 2a - 2a^2 + a$

Теперь приведем подобные слагаемые. Для этого сгруппируем члены с одинаковой переменной в одинаковой степени.

$(a^2 - 2a^2) + (3a - 2a + a) + 1$

Выполним вычисления в каждой группе:

$a^2 - 2a^2 = -a^2$

$3a - 2a + a = (3 - 2 + 1)a = 2a$

Свободный член равен $1$.

Запишем полученные члены в порядке убывания степеней переменной $a$.

$-a^2 + 2a + 1$

Ответ: $-a^2 + 2a + 1$.

2) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении $(5x - 12x^2) + (x + 11x^2) - (x^2 - 1)$.

$5x - 12x^2 + x + 11x^2 - x^2 + 1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-12x^2 + 11x^2 - x^2) + (5x + x) + 1$

Выполним вычисления в группах:

$-12x^2 + 11x^2 - x^2 = (-12 + 11 - 1)x^2 = -2x^2$

$5x + x = (5 + 1)x = 6x$

Свободный член равен $1$.

Запишем результат в стандартном виде, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $x$.

$-2x^2 + 6x + 1$

Ответ: $-2x^2 + 6x + 1$.