Номер 3.80, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.80. Напишите уравнения отрезка $\text{MN}$ и луча $\text{a}$, изображенных на рис. 3.22.

Рис. 3.22

Уравнение отрезка MN

Чтобы написать уравнение отрезка MN, сначала определим координаты его концов по рисунку. Точка N имеет координаты $(-3; 1)$, а точка M имеет координаты $(1; 2)$.

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через эти две точки. Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек N(-3; 1) и M(1; 2) в эту формулу:

$\frac{y - 1}{2 - 1} = \frac{x - (-3)}{1 - (-3)}$

$\frac{y - 1}{1} = \frac{x + 3}{4}$

Выразим $y$ из этого уравнения:

$y - 1 = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4} + 1$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$

Поскольку MN — это отрезок, его точки существуют только для значений $x$, лежащих между абсциссами его концов, включая сами концы. Абсцисса точки N равна -3, а точки M равна 1. Таким образом, для отрезка MN должно выполняться условие $-3 \le x \le 1$.

Уравнение отрезка MN можно записать в виде системы:

Ответ: $ \begin{cases} y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}, \\ -3 \le x \le 1. \end{cases} $

Уравнение луча a

Луч $a$ начинается в точке A и проходит через другие точки. Определим по рисунку координаты начальной точки A и еще одной точки на луче. Точка A имеет координаты $(-1; -1)$. Луч также проходит, например, через точку с координатами $(1; 0)$.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(-1; -1) и (1; 0), используя ту же формулу:

$\frac{y - (-1)}{0 - (-1)} = \frac{x - (-1)}{1 - (-1)}$

$\frac{y + 1}{1} = \frac{x + 1}{2}$

Выразим $y$:

$y + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Так как это луч, начинающийся в точке A, его точки существуют только для значений $x$, которые больше или равны абсциссе начальной точки. Абсцисса точки A равна -1. Таким образом, для луча $a$ должно выполняться условие $x \ge -1$.

Уравнение луча $a$ можно записать в виде системы:

Ответ: $ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}, \\ x \ge -1. \end{cases} $