Номер 3.70, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.70. Проверьте результаты упражнения 3.69, находя точки пересечения графиков данных линейных функций аналитическим способом.

Чтобы найти точки пересечения графиков двух линейных функций аналитическим способом, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих функций. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ у обеих функций равны. Поэтому мы можем приравнять выражения для $y$ и решить полученное уравнение относительно $x$. Затем, подставив найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, мы найдем значение $y$.

1) Даны функции $y = 2x - 3$ и $y = \frac{1}{2}x$.

Приравняем правые части уравнений:

$2x - 3 = \frac{1}{2}x$

Сгруппируем члены, содержащие $x$, в одной части уравнения, а константы — в другой:

$2x - \frac{1}{2}x = 3$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{4}{2}x - \frac{1}{2}x = 3$

$\frac{3}{2}x = 3$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{2}{3}$:

$x = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в одно из исходных уравнений, например, во второе:

$y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$

2) Даны функции $y = 1,5x + 2$ и $y = -2x - 5$.

Приравняем правые части уравнений:

$1,5x + 2 = -2x - 5$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы — в правой:

$1,5x + 2x = -5 - 2$

$3,5x = -7$

Найдем $x$:

$x = \frac{-7}{3,5} = -2$

Подставим $x = -2$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 1,5 \cdot (-2) + 2 = -3 + 2 = -1$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -1)$

3) Даны функции $y = 0,5x$ и $y = -0,3x + 3,2$.

Приравняем правые части уравнений:

$0,5x = -0,3x + 3,2$

Сгруппируем члены с $x$ в левой части:

$0,5x + 0,3x = 3,2$

$0,8x = 3,2$

Найдем $x$:

$x = \frac{3,2}{0,8} = \frac{32}{8} = 4$

Подставим $x = 4$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 0,5 \cdot 4 = 2$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(4; 2)$.

Ответ: $(4; 2)$

4) Даны функции $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11$.

Приравняем правые части уравнений:

$-\frac{4}{3}x + 2 = 3x - 11$

Сгруппируем члены с $x$ в правой части, а константы — в левой:

$2 + 11 = 3x + \frac{4}{3}x$

$13 = \frac{9}{3}x + \frac{4}{3}x$

$13 = \frac{13}{3}x$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{3}{13}$:

$x = 13 \cdot \frac{3}{13} = 3$

Подставим $x = 3$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 3 \cdot 3 - 11 = 9 - 11 = -2$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3; -2)$.

Ответ: $(3; -2)$