Номер 3.66, страница 98 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.66. Может ли график линейной функции располагаться только:

1) в I и III координатных четвертях;

2) во II и IV координатных четвертях;

3) в I и II координатных четвертях;

4) в III и IV координатных четвертях;

5) в I и IV координатных четвертях;

6) во II и III координатных четвертях?

Линейная функция задается уравнением $y = kx + b$, где $k$ и $b$ - некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия.

Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:

• I четверть: $x > 0$, $y > 0$
• II четверть: $x < 0$, $y > 0$
• III четверть: $x < 0$, $y < 0$
• IV четверть: $x > 0$, $y < 0$

1) в I и III координатных четвертях;

Чтобы график располагался только в I и III четвертях, он должен удовлетворять следующим условиям: если $x > 0$, то $y > 0$, и если $x < 0$, то $y < 0$. Это означает, что произведение $xy$ всегда неотрицательно. Кроме того, график не должен заходить во II и IV четверти. Если бы прямая пересекала ось $y$ в точке, отличной от нуля (т.е. $b \neq 0$), она бы обязательно попала в соседнюю четверть. Например, при $b>0$ и $k>0$, для малых по модулю отрицательных $x$ значение $y$ было бы положительным, и точка оказалась бы во II четверти. Следовательно, прямая должна проходить через начало координат, что означает $b=0$.

Уравнение принимает вид $y = kx$. Чтобы знаки $x$ и $y$ совпадали, коэффициент $k$ должен быть положительным ($k>0$). Например, график функции $y=2x$ проходит через начало координат и целиком расположен в I и III четвертях.

Ответ: Да.

2) во II и IV координатных четвертях;

Чтобы график располагался только во II и IV четвертях, он должен удовлетворять условиям: если $x < 0$, то $y > 0$, и если $x > 0$, то $y < 0$. Как и в предыдущем случае, чтобы не заходить в I и III четверти, график должен проходить через начало координат, то есть $b=0$.

Уравнение имеет вид $y=kx$. Чтобы знаки $x$ и $y$ были противоположными, коэффициент $k$ должен быть отрицательным ($k<0$). Например, график функции $y=-2x$ проходит через начало координат и целиком расположен во II и IV четвертях.

Ответ: Да.

3) в I и II координатных четвертях;

Для расположения графика только в I и II четвертях необходимо, чтобы для любого значения $x$ значение $y$ было положительным ($y > 0$).

Рассмотрим функцию $y = kx + b$. Если $k \neq 0$, то прямая будет наклонной. При $k>0$ (возрастающая функция) для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ значения $y$ станут отрицательными (график войдет в III четверть). При $k<0$ (убывающая функция) для достаточно больших положительных $x$ значения $y$ станут отрицательными (график войдет в IV четверть).

Единственный способ избежать отрицательных значений $y$ — это если график параллелен оси $x$, то есть $k=0$. Тогда функция принимает вид $y=b$. Чтобы график находился в I и II четвертях, значение $y$ должно быть всегда положительным, что выполняется при $b>0$. Например, график функции $y=3$ является горизонтальной прямой, расположенной выше оси $x$.

Ответ: Да.

4) в III и IV координатных четвертях;

Для расположения графика только в III и IV четвертях необходимо, чтобы для любого значения $x$ значение $y$ было отрицательным ($y < 0$).

Аналогично предыдущему пункту, если $k \neq 0$, график обязательно пересечет ось $x$ и примет положительные значения. Следовательно, необходимо, чтобы $k=0$.

Функция принимает вид $y=b$. Чтобы график находился в III и IV четвертях, значение $y$ должно быть всегда отрицательным, что выполняется при $b<0$. Например, график функции $y=-3$ является горизонтальной прямой, расположенной ниже оси $x$.

Ответ: Да.

5) в I и IV координатных четвертях;

Расположение графика только в I и IV четвертях означало бы, что для всех его точек абсцисса $x$ положительна ($x > 0$). Однако область определения линейной функции $y = kx + b$ — это все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), если не задано иное. Это значит, что ее график является бесконечной прямой и должен содержать точки с любыми абсциссами, в том числе и с отрицательными.

Точки с отрицательной абсциссой ($x < 0$) лежат во II или III четверти. Таким образом, график линейной функции не может быть ограничен только I и IV четвертями.

Исключением могла бы быть вертикальная прямая $x = c$ при $c > 0$, но она не является графиком функции, так как одному значению $x$ соответствует бесконечное множество значений $y$.

Ответ: Нет.

6) во II и III координатных четвертях?

Расположение графика только во II и III четвертях означало бы, что для всех его точек абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$). По тем же причинам, что и в пункте 5, это невозможно для графика линейной функции $y=kx+b$. Ее область определения — все действительные числа, поэтому на графике должны быть точки и с положительными абсциссами, которые лежат в I или IV четверти.

Следовательно, график линейной функции не может располагаться только во II и III четвертях.

Ответ: Нет.