Номер 3.64, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.64. Упростите выражение $\frac{3a^2 + 5b}{2a - 1} + \frac{a^2 - 2b^2}{3 - 4b}$.

3.64. Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю. Исходное выражение:

$$ \frac{3a^2 + 5b}{2a - 1} + \frac{a^2 - 2b^2}{3 - 4b} $$

Общим знаменателем для дробей со знаменателями $(2a - 1)$ и $(3 - 4b)$ является их произведение $(2a - 1)(3 - 4b)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(3 - 4b)$, а второй дроби — на $(2a - 1)$:

$$ \frac{(3a^2 + 5b)(3 - 4b)}{(2a - 1)(3 - 4b)} + \frac{(a^2 - 2b^2)(2a - 1)}{(2a - 1)(3 - 4b)} $$

Теперь сложим числители, оставив знаменатель прежним:

$$ \frac{(3a^2 + 5b)(3 - 4b) + (a^2 - 2b^2)(2a - 1)}{(2a - 1)(3 - 4b)} $$

Раскроем скобки в числителе. Сначала перемножим многочлены:

$$ (3a^2 + 5b)(3 - 4b) = 3a^2 \cdot 3 + 3a^2 \cdot (-4b) + 5b \cdot 3 + 5b \cdot (-4b) = 9a^2 - 12a^2b + 15b - 20b^2 $$

$$ (a^2 - 2b^2)(2a - 1) = a^2 \cdot 2a + a^2 \cdot (-1) - 2b^2 \cdot 2a - 2b^2 \cdot (-1) = 2a^3 - a^2 - 4ab^2 + 2b^2 $$

Теперь сложим полученные выражения в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \begin{aligned} & (9a^2 - 12a^2b + 15b - 20b^2) + (2a^3 - a^2 - 4ab^2 + 2b^2) = \\ & = 2a^3 + (9a^2 - a^2) - 12a^2b - 4ab^2 + (-20b^2 + 2b^2) + 15b = \\ & = 2a^3 + 8a^2 - 12a^2b - 4ab^2 - 18b^2 + 15b \end{aligned} $$

Запишем итоговое выражение:

$$ \frac{2a^3 + 8a^2 - 12a^2b - 4ab^2 - 18b^2 + 15b}{(2a - 1)(3 - 4b)} $$

Ответ: $$ \frac{2a^3 + 8a^2 - 12a^2b - 4ab^2 - 18b^2 + 15b}{(2a - 1)(3 - 4b)} $$