Номер 3.57, страница 94 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.57. Напишите уравнение линейной функции, график которой проходит через две заданные точки $M_1 (x_1; y_1)$ и $M_2 (x_2; y_2)$. Используя полученную формулу, напишите линейную функцию, проходящую через точки:

1) $A (2; 0)$ и $B (0; 3)$;

2) $P (-1; -4)$ и $Q (2; 2)$.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – свободный член (ордината точки пересечения графика с осью $Oy$).

Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$, необходимо найти значения $k$ и $b$.

Поскольку обе точки лежат на прямой, их координаты удовлетворяют уравнению функции. Мы можем составить систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $k$:

$y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 - kx_1 = k(x_2 - x_1)$

Отсюда, при $x_1 \neq x_2$, угловой коэффициент равен:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Зная $k$, можно найти $b$ из любого из двух первоначальных уравнений, например, из первого:

$b = y_1 - kx_1$

Другой способ записать уравнение прямой, проходящей через две точки (каноническое уравнение), выглядит так:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Эта формула особенно удобна для непосредственной подстановки координат. Используем ее для решения конкретных задач.

1) Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $A(2; 0)$ и $B(0; 3)$.

Здесь $x_1 = 2, y_1 = 0$ и $x_2 = 0, y_2 = 3$.

Подставим эти значения в каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - 2}{0 - 2} = \frac{y - 0}{3 - 0}$

$\frac{x - 2}{-2} = \frac{y}{3}$

Теперь преобразуем это уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:

$y = 3 \cdot \frac{x - 2}{-2}$

$y = -\frac{3}{2}(x - 2)$

$y = -\frac{3}{2}x + 3$

Это и есть искомое уравнение линейной функции.

Ответ: $y = -\frac{3}{2}x + 3$.

2) Найдем уравнение линейной функции, проходящей через точки $P(-1; -4)$ и $Q(2; 2)$.

Здесь $x_1 = -1, y_1 = -4$ и $x_2 = 2, y_2 = 2$.

Подставим значения в формулу:

$\frac{x - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{y - (-4)}{2 - (-4)}$

$\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 4}{6}$

Теперь выразим $y$:

$y + 4 = 6 \cdot \frac{x + 1}{3}$

$y + 4 = 2(x + 1)$

$y + 4 = 2x + 2$

$y = 2x + 2 - 4$

$y = 2x - 2$

Это искомое уравнение.

Ответ: $y = 2x - 2$.