Номер 3.62, страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.62. Решите уравнение:

1) $ \frac{2(x-9)}{3} + \frac{x+10}{6} = 4; $

2) $ \frac{12}{1+|x|} = 3. $

1) Дано уравнение:

$ \frac{2(x - 9)}{3} + \frac{x + 10}{6} = 4 $

Для решения этого линейного уравнения сначала избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 6, которое равно 6.

$ 6 \cdot \left(\frac{2(x - 9)}{3} + \frac{x + 10}{6}\right) = 6 \cdot 4 $

Раскроем скобки в левой части:

$ \frac{6 \cdot 2(x - 9)}{3} + \frac{6 \cdot (x + 10)}{6} = 24 $

Сократим дроби:

$ 2 \cdot 2(x - 9) + (x + 10) = 24 $

$ 4(x - 9) + x + 10 = 24 $

Теперь раскроем скобки:

$ 4x - 36 + x + 10 = 24 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (4x + x) + (-36 + 10) = 24 $

$ 5x - 26 = 24 $

Перенесем число -26 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$ 5x = 24 + 26 $

$ 5x = 50 $

Найдем $x$, разделив обе части на 5:

$ x = \frac{50}{5} $

$ x = 10 $

Ответ: $10$.

2) Дано уравнение:

$ \frac{12}{1 + |x|} = 3 $

Область допустимых значений: знаменатель $1 + |x|$ не должен быть равен нулю. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $1 + |x| \ge 1$. Таким образом, знаменатель никогда не равен нулю, и уравнение определено для всех $x$.

Это уравнение можно рассматривать как пропорцию $ \frac{12}{1 + |x|} = \frac{3}{1} $. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$ 12 \cdot 1 = 3 \cdot (1 + |x|) $

$ 12 = 3(1 + |x|) $

Разделим обе части уравнения на 3:

$ \frac{12}{3} = 1 + |x| $

$ 4 = 1 + |x| $

Теперь выразим $|x|$:

$ |x| = 4 - 1 $

$ |x| = 3 $

Уравнение $|x| = a$, где $a > 0$, имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$. В нашем случае $a=3$.

Следовательно, получаем два решения:

$ x_1 = 3 $

$ x_2 = -3 $

Ответ: $-3; 3$.