Вопросы, страница 97 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. При каких условиях графики двух линейных функций: а) пересекаются; б) параллельны; в) перпендикулярны? Приведите пример.

2. Как могут располагаться относительно друг друга две прямые, заданные линейными функциями, с равными свободными членами? Найдите координаты точки пересечения этих прямых, если $\text{b}$ — общий свободный член.

Через водителя автобуса, который отправился из Тараза в Алматы, было передано заказное письмо. Ввиду срочной необходимости документа через час после отправления автобуса к нему навстречу из Алматы выехал легковой автомобиль. Спустя 3 ч они встретились. Расстояние между городами Алматы и Тараз равно 500 км, средняя скорость автобуса — $\text{x}$ км/ч, средняя скорость легкового автомобиля — $\text{y}$ км/ч.

1) Запишите зависимость между $\text{x}$ и $\text{y}$ с помощью уравнения.

2) Каким должно быть значение $\text{y}$, если $x = 70$ км/ч?

3) Чему равно наименьшее возможное время встречи автобуса и легкового автомобиля, если вдоль автобана имеется ограничение скорости 90 км/ч?

4) Могли бы они встретиться через 3 ч после выезда легкового автомобиля из Алматы, если средняя скорость автобуса равна 60 км/ч?

Помните! По правилу дорожного движения нельзя превышать скорость движения выше указанного ограничения скорости.

1. При каких условиях графики двух линейных функций: а) пересекаются; б) параллельны; в) перпендикулярны? Приведите пример.

Рассмотрим две линейные функции, заданные уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, где $k$ – угловой коэффициент (определяет наклон прямой), а $b$ – свободный член (определяет точку пересечения с осью OY).

а) пересекаются

Графики двух линейных функций пересекаются в одной точке, если они не параллельны, то есть имеют разные угловые коэффициенты.

Условие: $k_1 \neq k_2$.

Пример: $y = 3x + 2$ и $y = -x + 6$. Здесь $k_1=3$, $k_2=-1$. Поскольку $3 \neq -1$, графики этих функций пересекаются.

б) параллельны

Графики параллельны, если они имеют одинаковый наклон, но не совпадают. Это означает, что их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны.

Условие: $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$.

Пример: $y = 2x + 1$ и $y = 2x - 3$. Здесь $k_1=2$, $k_2=2$ и $b_1=1$, $b_2=-3$. Поскольку $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$, прямые параллельны.

в) перпендикулярны

Графики перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Это частный случай пересекающихся прямых.

Условие: $k_1 \cdot k_2 = -1$.

Пример: $y = 2x + 5$ и $y = -0.5x + 1$. Здесь $k_1=2$, $k_2=-0.5$. Поскольку $2 \cdot (-0.5) = -1$, прямые перпендикулярны.

2. Как могут располагаться относительно друг друга две прямые, заданные линейными функциями, с равными свободными членами? Найдите координаты точки пересечения этих прямых, если b – общий свободный член.

Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями $y = k_1x + b$ и $y = k_2x + b$. У них равные свободные члены $b$. Это означает, что обе прямые пересекают ось ординат (OY) в одной и той же точке $(0, b)$.

Возможны два варианта их взаимного расположения:

1. Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), то уравнения полностью совпадают. Следовательно, прямые совпадают (являются одной и той же прямой).

2. Если угловые коэффициенты не равны ($k_1 \neq k_2$), прямые имеют разный наклон, но проходят через одну общую точку на оси OY. Следовательно, они пересекаются в этой точке.

Найдем координаты точки пересечения для случая, когда прямые не совпадают ($k_1 \neq k_2$). Для этого приравняем правые части уравнений:

$k_1x + b = k_2x + b$

$k_1x - k_2x = b - b$

$(k_1 - k_2)x = 0$

Поскольку $k_1 \neq k_2$, то $k_1 - k_2 \neq 0$. Значит, единственное решение этого уравнения — $x=0$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=0$ в любое из исходных уравнений:

$y = k_1 \cdot 0 + b = b$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0, b)$.

Ответ: Две прямые с равными свободными членами могут либо совпадать (если их угловые коэффициенты равны), либо пересекаться (если угловые коэффициенты различны). Координаты точки пересечения в этом случае — $(0, b)$.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч – скорость автобуса, а $y$ км/ч – скорость легкового автомобиля. Автобус отправился из Тараза в Алматы. Через 1 час ему навстречу из Алматы выехал автомобиль. Они встретились спустя 3 часа после выезда автомобиля. Это означает, что к моменту встречи автомобиль был в пути $t_{авт} = 3$ часа. Автобус был в пути на 1 час дольше, то есть $t_{автобуса} = 3 + 1 = 4$ часа. За это время автобус проехал расстояние $S_{автобуса} = v_{автобуса} \cdot t_{автобуса} = x \cdot 4 = 4x$ км. Автомобиль проехал расстояние $S_{авт} = v_{авт} \cdot t_{авт} = y \cdot 3 = 3y$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между городами, которое составляет 500 км. $S_{автобуса} + S_{авт} = 500$

1) Запишите зависимость между x и y с помощью уравнения.

На основе рассуждений выше, зависимость между скоростями $x$ и $y$ выражается уравнением:

$4x + 3y = 500$

Ответ: $4x + 3y = 500$.

2) Каким должно быть значение у, если х = 70 км/ч?

Подставим известное значение $x = 70$ в полученное уравнение и найдем $y$:

$4 \cdot 70 + 3y = 500$

$280 + 3y = 500$

$3y = 500 - 280$

$3y = 220$

$y = \frac{220}{3} = 73 \frac{1}{3}$

Таким образом, скорость легкового автомобиля должна быть $73 \frac{1}{3}$ км/ч.

Ответ: $73 \frac{1}{3}$ км/ч.

3) Чему равно наименьшее возможное время встречи автобуса и легкового автомобиля, если вдоль автобана имеется ограничение скорости 90 км/ч?

Пусть $t$ – время в пути легкового автомобиля до момента встречи. Тогда время в пути автобуса равно $t+1$. Общее уравнение движения: $x(t+1) + y \cdot t = 500$.

Чтобы время встречи было наименьшим, скорости транспортных средств должны быть максимальными. Согласно условию, максимальная разрешенная скорость составляет 90 км/ч. Примем $x = 90$ км/ч и $y = 90$ км/ч.

Подставим эти значения в уравнение движения:

$90(t+1) + 90t = 500$

$90t + 90 + 90t = 500$

$180t = 500 - 90$

$180t = 410$

$t = \frac{410}{180} = \frac{41}{18}$

Наименьшее время от выезда автомобиля до встречи составляет $t = \frac{41}{18} = 2 \frac{5}{18}$ часа. Переведем в часы и минуты: $2$ часа и $\frac{5}{18} \cdot 60 = \frac{50}{3} \approx 16.7$ минут.

Ответ: Наименьшее возможное время встречи (от момента выезда автомобиля) равно $\frac{41}{18}$ часа, или примерно 2 часа 17 минут.

4) Могли бы они встретиться через 3 ч после выезда легкового автомобиля из Алматы, если средняя скорость автобуса равна 60 км/ч?

Данный вопрос отсылает нас к исходным условиям задачи, где время встречи составляло 3 часа после выезда автомобиля. Проверим, возможно ли это при скорости автобуса $x = 60$ км/ч, не нарушая правил дорожного движения (ограничение 90 км/ч из п.3).

Используем основное уравнение $4x + 3y = 500$ и подставим $x = 60$:

$4 \cdot 60 + 3y = 500$

$240 + 3y = 500$

$3y = 500 - 240$

$3y = 260$

$y = \frac{260}{3} = 86 \frac{2}{3}$

Требуемая скорость легкового автомобиля составляет $86 \frac{2}{3}$ км/ч. Это значение не превышает ограничение скорости в 90 км/ч, указанное в задании. Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: Да, могли бы. В этом случае скорость легкового автомобиля должна была бы быть $86 \frac{2}{3}$ км/ч, что не противоречит ограничению скорости.