Номер 3.69, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.69. Найдите точки пересечения прямых, предварительно построив графики линейных функций:

1) $y = 2x - 3$ и $y = \frac{1}{2}x;$

2) $y = 1,5x + 2$ и $y = -2x - 5;$

3) $y = 0,5x$ и $y = -0,3x + 3,2;$

4) $y = -\frac{4}{3}x + 2$ и $y = 3x - 11.$

1) Для построения графика линейной функции $y=2x-3$ найдем две точки. Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 - 3 = -3$, получаем точку $(0, -3)$. Если $x=2$, то $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$, получаем точку $(2, 1)$. Проводим прямую через эти две точки.

Для построения графика функции $y=\frac{1}{2}x$ также найдем две точки. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$, получаем точку $(0, 0)$. Если $x=2$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$, получаем точку $(2, 1)$. Проводим прямую через эти две точки.

На графике видно, что прямые пересекаются в точке $(2, 1)$. Найдем точку пересечения аналитически, приравняв правые части уравнений:

$2x - 3 = \frac{1}{2}x$

$2x - \frac{1}{2}x = 3$

$\frac{3}{2}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в любое из уравнений:

$y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

2) Для построения графика $y=1,5x+2$ возьмем точки. Если $x=0$, $y=2$, точка $(0, 2)$. Если $x=-2$, $y = 1,5(-2) + 2 = -3+2=-1$, точка $(-2, -1)$.

Для построения графика $y=-2x-5$ возьмем точки. Если $x=0$, $y=-5$, точка $(0, -5)$. Если $x=-2$, $y = -2(-2) - 5 = 4-5=-1$, точка $(-2, -1)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке $(-2, -1)$. Найдем точку пересечения аналитически:

$1,5x + 2 = -2x - 5$

$1,5x + 2x = -5 - 2$

$3,5x = -7$

$x = -2$

Подставим $x$ в одно из уравнений:

$y = 1,5(-2) + 2 = -3 + 2 = -1$

Координаты точки пересечения $(-2, -1)$.

Ответ: $(-2, -1)$.

3) Для построения графика $y=0,5x$ возьмем точки $(0, 0)$ и $(4, 2)$ (при $x=4, y=0,5 \cdot 4=2$).

Для построения графика $y=-0,3x+3,2$ возьмем точки. Если $x=0$, $y=3,2$, точка $(0, 3,2)$. Если $x=4$, $y = -0,3(4) + 3,2 = -1,2+3,2=2$, точка $(4, 2)$.

Графики пересекаются в точке $(4, 2)$. Решим систему уравнений:

$0,5x = -0,3x + 3,2$

$0,5x + 0,3x = 3,2$

$0,8x = 3,2$

$x = \frac{3,2}{0,8} = 4$

Найдем $y$:

$y = 0,5 \cdot 4 = 2$

Точка пересечения — $(4, 2)$.

Ответ: $(4, 2)$.

4) Для построения графика $y=-\frac{4}{3}x+2$ возьмем точки. Если $x=0$, $y=2$, точка $(0, 2)$. Если $x=3$, $y = -\frac{4}{3}(3) + 2 = -4+2=-2$, точка $(3, -2)$.

Для построения графика $y=3x-11$ возьмем точки. Если $x=3$, $y = 3(3) - 11 = 9-11=-2$, точка $(3, -2)$. Если $x=4$, $y = 3(4) - 11 = 12-11=1$, точка $(4, 1)$.

На графиках видно, что точка пересечения — $(3, -2)$. Найдем ее координаты аналитически:

$-\frac{4}{3}x + 2 = 3x - 11$

$2 + 11 = 3x + \frac{4}{3}x$

$13 = \frac{9}{3}x + \frac{4}{3}x$

$13 = \frac{13}{3}x$

$x = 13 \cdot \frac{3}{13} = 3$

Найдем $y$:

$y = 3(3) - 11 = 9 - 11 = -2$

Координаты точки пересечения $(3, -2)$.

Ответ: $(3, -2)$.