Номер 3.72, страница 99 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.72. По графику (рис. 3.19) запишите уравнения ли-

нейных функций. Найдите координаты точки их пере-

сечения аналитическим способом и результат сверьте с

рисунком.

Рис. 3.19

1. Запишем уравнения линейных функций.

Общий вид уравнения линейной функции: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения графика с осью $Oy$.

Уравнение прямой m:

Из графика видно, что прямая $m$ пересекает ось $Oy$ в точке с координатами $(0; 1)$, следовательно, коэффициент $b = 1$.

Прямая $m$ также проходит через точку с координатами $(-1,5; 0)$. Используем координаты двух точек, $(0; 1)$ и $(-1,5; 0)$, для нахождения углового коэффициента $k$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{0 - (-1,5)} = \frac{1}{1,5} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$

Таким образом, уравнение прямой $m$ имеет вид $y = \frac{2}{3}x + 1$.

Ответ: $y = \frac{2}{3}x + 1$

Уравнение прямой n:

Прямая $n$ также пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$, следовательно, для нее тоже $b = 1$.

Прямая $n$ проходит через точку с координатами $(1; 0)$. Найдем угловой коэффициент $k$ для этой прямой, используя точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{1 - 0}{0 - 1} = \frac{1}{-1} = -1$

Таким образом, уравнение прямой $n$ имеет вид $y = -x + 1$.

Ответ: $y = -x + 1$

2. Найдем координаты точки их пересечения аналитическим способом и результат сверим с рисунком.

Для нахождения координат точки пересечения необходимо решить систему, состоящую из уравнений этих двух прямых:

$\begin{cases} y = \frac{2}{3}x + 1 \\ y = -x + 1 \end{cases}$

Поскольку левые части уравнений равны, приравняем их правые части:

$\frac{2}{3}x + 1 = -x + 1$

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

$\frac{2}{3}x = -x$

Перенесем все члены с $x$ в одну сторону:

$\frac{2}{3}x + x = 0$

$\frac{5}{3}x = 0$

Отсюда следует, что $x = 0$.

Для нахождения $y$ подставим значение $x = 0$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$y = -0 + 1 = 1$

Таким образом, аналитически найденные координаты точки пересечения — $(0; 1)$.

Сверка с рисунком: на графике прямые $m$ и $n$ также пересекаются в точке $(0; 1)$. Результат совпадает.

Ответ: $(0; 1)$