Номер 3.96, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.96. Решите систему уравнений графическим способом:

1) $\begin{cases} 0.5x + y = 2, \\ -2x + 5y = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 4y = -4, \\ 3x - 4y = 7; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 4x - 3y = 0, \\ 3x + 2y = 17; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 5x - 4y = 0, \\ 2.5x - 2y = 1. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений графическим способом необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Первое уравнение: $0,5x + y = 2$. Это линейное уравнение, его график - прямая. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение вида $y=kx+b$:

$y = -0,5x + 2$

Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их координаты:

• при $x=0$, $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x=4$, $y = -0,5 \cdot 4 + 2 = -2 + 2 = 0$. Точка $(4; 0)$.

Второе уравнение: $-2x + 5y = 10$. Это также линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$:

$5y = 2x + 10$

$y = \frac{2}{5}x + 2$ или $y = 0,4x + 2$

Найдем две точки для построения этой прямой:

• при $x=0$, $y = 0,4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.
• при $x=5$, $y = 0,4 \cdot 5 + 2 = 2 + 2 = 4$. Точка $(5; 4)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(0; 2)$. Эта точка принадлежит обоим графикам, что видно уже при нахождении координат точек для построения.

Проверим, подставив значения $x=0$ и $y=2$ в исходную систему:

$0,5 \cdot 0 + 2 = 2 \implies 2=2$ (верно)

$-2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 = 10 \implies 10=10$ (верно)

Таким образом, точка пересечения найдена верно.

Ответ: $(0; 2)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 4y = -4 \\ 3x - 4y = 7 \end{cases} $

Для построения графиков преобразуем уравнения к виду $y=kx+b$.

Первое уравнение: $3x - 4y = -4 \implies -4y = -3x - 4 \implies y = \frac{3}{4}x + 1$.

Второе уравнение: $3x - 4y = 7 \implies -4y = -3x + 7 \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$.

Угловые коэффициенты ($k$) обеих прямых одинаковы и равны $\frac{3}{4}$, а свободные члены ($b$) различны ($1$ и $-\frac{7}{4}$). Это признак того, что прямые параллельны. Параллельные прямые не пересекаются, а значит, система не имеет решений.

Для наглядности построим графики.

Для прямой $y = \frac{3}{4}x + 1$ возьмем точки $(0; 1)$ и $(4; 4)$.

Для прямой $y = \frac{3}{4}x - \frac{7}{4}$ возьмем точки $(1; -1)$ и $(5; 2)$.

Построив графики, мы увидим две параллельные прямые, которые не имеют общих точек.

Ответ: нет решений.

3) Решим графически систему:

$ \begin{cases} 4x - 3y = 0 \\ 3x + 2y = 17 \end{cases} $

Приведем уравнения к виду $y=kx+b$.

Первое уравнение: $4x - 3y = 0 \implies -3y = -4x \implies y = \frac{4}{3}x$.

Найдем точки для построения этой прямой, проходящей через начало координат:

• при $x=0$, $y=0$. Точка $(0; 0)$.
• при $x=3$, $y=\frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. Точка $(3; 4)$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 17 \implies 2y = -3x + 17 \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{17}{2}$ или $y = -1,5x + 8,5$.

Найдем точки для построения этой прямой:

• при $x=1$, $y = -1,5 \cdot 1 + 8,5 = 7$. Точка $(1; 7)$.
• при $x=5$, $y = -1,5 \cdot 5 + 8,5 = -7,5 + 8,5 = 1$. Точка $(5; 1)$.

Построив графики, находим их точку пересечения. На графике видно, что прямые пересекаются в точке $(3; 4)$.

Выполним проверку:

$4 \cdot 3 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0$ (верно)

$3 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 9 + 8 = 17$ (верно)

Решение найдено верно.

Ответ: $(3; 4)$.

4) Рассмотрим систему:

$ \begin{cases} 5x - 4y = 0 \\ 2,5x - 2y = 1 \end{cases} $

Выразим $y$ через $x$ в каждом уравнении.

Первое уравнение: $5x - 4y = 0 \implies -4y = -5x \implies y = \frac{5}{4}x$ или $y = 1,25x$.

Второе уравнение: $2,5x - 2y = 1 \implies -2y = -2,5x + 1 \implies y = \frac{2,5}{2}x - \frac{1}{2} \implies y = 1,25x - 0,5$.

Угловые коэффициенты прямых равны ($k=1,25$), а свободные члены различны ($b_1=0$, $b_2=-0,5$). Следовательно, графики этих уравнений - параллельные прямые.

Для построения прямой $y=1,25x$ возьмем точки $(0; 0)$ и $(4; 5)$.

Для построения прямой $y=1,25x - 0,5$ возьмем точки $(0; -0,5)$ и $(2; 2)$.

Поскольку прямые параллельны и не совпадают, они не имеют точек пересечения. Таким образом, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.