Номер 3.99, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.99. Имеет ли решение система из трех линейных уравнений:

1) Чтобы определить, имеет ли система из трех уравнений с двумя переменными решение, нужно найти решение системы, состоящей из любых двух уравнений, и проверить, удовлетворяет ли это решение третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения:

$ \begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = -1 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$ (x - y) + (x + y) = 3 + (-1) $

$ 2x = 2 $

$ x = 1 $

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из двух уравнений, например, во второе:

$ 1 + y = -1 $

$ y = -1 - 1 $

$ y = -2 $

Таким образом, решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(1, -2)$.

Теперь подставим эти значения в третье уравнение системы, $2x - 3y = 8$, чтобы проверить, является ли оно верным:

$ 2(1) - 3(-2) = 8 $

$ 2 + 6 = 8 $

$ 8 = 8 $

Равенство верное. Это означает, что пара чисел $(1, -2)$ удовлетворяет всем трем уравнениям.

Ответ: да, система имеет решение $(1, -2)$.

2) Поступим аналогично первому пункту. Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = 7 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными:

$ \begin{cases} x + 2y = 1 \\ 4x - 2y = 14 \end{cases} $

Теперь сложим уравнения:

$ (x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 14 $

$ 5x = 15 $

$ x = 3 $

Подставим значение $x$ в первое уравнение исходной системы:

$ 3 + 2y = 1 $

$ 2y = 1 - 3 $

$ 2y = -2 $

$ y = -1 $

Решением системы из первых двух уравнений является пара чисел $(3, -1)$.

Проверим, удовлетворяет ли эта пара третьему уравнению, $3x + 4y = 6$:

$ 3(3) + 4(-1) = 6 $

$ 9 - 4 = 6 $

$ 5 = 6 $

Получено неверное равенство. Это означает, что пара чисел, являющаяся решением первых двух уравнений, не является решением третьего уравнения. Следовательно, не существует такой пары $(x, y)$, которая бы удовлетворяла всем трем уравнениям одновременно.

Ответ: нет, система не имеет решений.