Номер 3.100, страница 106 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.100. Найдите такие значения $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$, чтобы система:

1) ${ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c; \end{cases} }$ 2) ${ \begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c \end{cases} }$

а) имела единственное решение;

б) не имела решений;

в) имела бесконечно много решений.

1) Для системы уравнений $\begin{cases} 3x + 2y = 5 \\ ax + by = c \end{cases}$ проанализируем условия на параметры $a, b, c$.

Общий вид системы: $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$. В данном случае $A_1=3, B_1=2, C_1=5$ и $A_2=a, B_2=b, C_2=c$. Количество решений зависит от соотношения коэффициентов.

а) Система имеет единственное решение, если прямые, заданные уравнениями, пересекаются в одной точке. Это выполняется, когда их угловые коэффициенты различны, что эквивалентно условию $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{3}{a} \neq \frac{2}{b}$

Приводя к общему знаменателю и упрощая (при $a \neq 0, b \neq 0$), получаем $3b \neq 2a$. Это условие, $2a - 3b \neq 0$, является общим и работает, даже если один из коэффициентов равен нулю. Параметр $c$ может принимать любое значение.

Ответ: $2a \neq 3b$, $c$ — любое число.

б) Система не имеет решений, если прямые параллельны и не совпадают. Это соответствует условию $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$

Из равенства $\frac{3}{a} = \frac{2}{b}$ следует, что $2a = 3b$.

Из неравенства $\frac{2}{b} \neq \frac{5}{c}$ следует, что $2c \neq 5b$. Если $2a = 3b$, то это также означает, что $3c \neq 5a$. Таким образом, коэффициенты $a$ и $b$ должны быть пропорциональны 3 и 2, а коэффициент $c$ не должен сохранять эту пропорцию по отношению к 5.

Ответ: $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} \neq \frac{c}{5}$, что эквивалентно условиям $2a = 3b$ и $5a \neq 3c$.

в) Система имеет бесконечно много решений, если прямые совпадают. Это соответствует условию $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{3}{a} = \frac{2}{b} = \frac{5}{c}$

Это означает, что второе уравнение должно быть получено из первого умножением на некоторый коэффициент $k$. То есть, $a=3k, b=2k, c=5k$ для некоторого действительного числа $k$.

Ответ: $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{5}$, что эквивалентно условиям $2a=3b$ и $5a=3c$.

2) Для системы уравнений $\begin{cases} x - 2y = 11 \\ ax + by = c \end{cases}$ проанализируем условия на параметры $a, b, c$.

Здесь $A_1=1, B_1=-2, C_1=11$ и $A_2=a, B_2=b, C_2=c$.

а) Система имеет единственное решение при условии $\frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} \neq \frac{-2}{b}$

Упрощая, получаем $b \neq -2a$ или $2a + b \neq 0$. Параметр $c$ может быть любым.

Ответ: $b \neq -2a$, $c$ — любое число.

б) Система не имеет решений при условии $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} \neq \frac{11}{c}$

Из равенства $\frac{1}{a} = \frac{-2}{b}$ следует, что $b = -2a$.

Из неравенства $\frac{1}{a} \neq \frac{11}{c}$ следует, что $c \neq 11a$.

Ответ: $b = -2a$ и $c \neq 11a$.

в) Система имеет бесконечно много решений при условии $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$.

Для нашей системы:

$\frac{1}{a} = \frac{-2}{b} = \frac{11}{c}$

Это означает, что существует такое число $k$, что $a=k, b=-2k, c=11k$. Это эквивалентно паре условий.

Ответ: $b = -2a$ и $c = 11a$.