Вопросы, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Как постоить график функции $y=ax^2$ с помощью графика функции $y=x^2$ при:
а) $a>1$;
б) $0<a<1$;
в) $a<0$?

2. Куда направлены ветви параболы $y=ax^2$ при $a>0, a<0$?

3. Как построить график функции $y=ax^3$ с помощью графика функции $y=x^3$ при:
а) $a>1$;
б) $0<a<1$;
в) $a<0$?

4. В каких координатных четвертях расположен график функции $y=ax^3$ при $a>0, a<0$?

1. График функции $y=ax^2$ получается из графика функции $y=x^2$ (стандартной параболы с вершиной в начале координат) с помощью преобразований.

а) При $a>1$ для построения графика функции $y=ax^2$ необходимо выполнить растяжение графика $y=x^2$ вдоль оси ординат (оси OY) с коэффициентом $a$. Это означает, что для каждого значения $x$ ордината (значение $y$) соответствующей точки на графике $y=x^2$ умножается на число $a$. В результате парабола становится "уже" или "круче", т.е. ее ветви прижимаются ближе к оси OY.

б) При $0<a<1$ для построения графика функции $y="ax^2$" необходимо выполнить сжатие к оси абсцисс (оси ox) с коэффициентом $a$. Это означает, что каждого значения $x$ ордината (значение $y$) соответствующей точки на графике умножается число В результате парабола становится шире или более пологой, т.е. ее ветви отдаляются от oy.

в) При $a<0$ построение графика происходит в два этапа. Сначала график функции $y=x^2$ симметрично отражается относительно оси абсцисс (оси OX). Получается график функции $y=-x^2$. Затем полученный график $y=-x^2$ преобразуется с помощью растяжения или сжатия вдоль оси OY с коэффициентом $|a|$. Если $|a|>1$, происходит растяжение, а если $0<|a|<1$, происходит сжатие.

Ответ: а) Растянуть график $y=x^2$ от оси OX вдоль оси OY в $a$ раз. б) Сжать график $y=x^2$ к оси OX вдоль оси OY в $1/a$ раз. в) Отобразить график $y=x^2$ симметрично относительно оси OX, а затем выполнить растяжение или сжатие вдоль оси OY с коэффициентом $|a|$.

2. Направление ветвей параболы $y=ax^2$ определяется знаком коэффициента $a$.

При $a>0$ значение $x^2$ всегда неотрицательно (больше или равно нулю). При умножении на положительное число $a$ результат $ax^2$ также будет неотрицательным. Таким образом, все точки параболы, кроме вершины (0,0), лежат выше оси OX. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

При $a<0$ значение $x^2$ всегда неотрицательно. При умножении на отрицательное число $a$ результат $ax^2$ будет неположительным (меньше или равен нулю). Таким образом, все точки параболы, кроме вершины (0,0), лежат ниже оси OX. Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: При $a>0$ ветви параболы направлены вверх, при $a<0$ — вниз.

3. График функции $y=ax^3$ получается из графика функции $y=x^3$ (стандартной кубической параболы) с помощью аналогичных преобразований.

а) При $a>1$ для построения графика функции $y=ax^3$ необходимо выполнить растяжение графика $y=x^3$ вдоль оси ординат (оси OY) с коэффициентом $a$. Каждая ордината графика $y=x^3$ умножается на $a$, делая график "круче".

б) При $0<a<1$ для построения графика функции $y="ax^3$" необходимо выполнить сжатие к оси абсцисс (оси ox) с коэффициентом $a$. Каждая ордината умножается на $a$, делая график более пологим.

в) При $a<0$ сначала выполняется симметричное отражение графика $y=x^3$ относительно оси абсцисс (оси OX), а затем выполняется растяжение или сжатие вдоль оси OY с коэффициентом $|a|$.

Ответ: а) Растянуть график $y=x^3$ от оси OX вдоль оси OY в $a$ раз. б) Сжать график $y=x^3$ к оси OX вдоль оси OY в $1/a$ раз. в) Отобразить график $y=x^3$ симметрично относительно оси OX, а затем выполнить растяжение или сжатие вдоль оси OY с коэффициентом $|a|$.

4. Расположение графика функции $y=ax^3$ в координатных четвертях зависит от знака коэффициента $a$.

При $a>0$:

- Если $x>0$, то $x^3>0$, и $y=ax^3 > 0$. Точки с координатами $(+, +)$ лежат в I координатной четверти.

- Если $x<0$, то $x^3<0$, и $y=ax^3 < 0$. Точки с координатами $(-, -)$ лежат в III координатной четверти. Таким образом, при $a>0$ график расположен в I и III четвертях.

При $a<0$:

- Если $x>0$, то $x^3>0$, и $y=ax^3 < 0$. Точки с координатами $(+, -)$ лежат в IV координатной четверти.

- Если $x<0$, то $x^3<0$, и $y=ax^3 > 0$. Точки с координатами $(-, +)$ лежат во II координатной четверти. Таким образом, при $a<0$ график расположен во II и IV четвертях.

Ответ: При $a>0$ график расположен в I и III координатных четвертях; при $a<0$ — во II и IV координатных четвертях.