Номер 3.142, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.142. Постройте график функции $y = -\frac{3}{x}$. С помощью него найдите значения:

1) $\text{y}$, соответствующие значениям $\text{x}$, равным $-6; -3; -1; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; 1; 3; 6$.

2) $\text{x}$, которым соответствуют значения $\text{y}$, равные $-\frac{1}{2}; -1; -2; 2; 1; \frac{1}{2}$.

Для построения графика функции $y = -\frac{3}{x}$ составим таблицу значений для нескольких точек. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола. Так как коэффициент $k = -3$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Составим таблицу значений:

• при $x = -6$, $y = -\frac{3}{-6} = 0.5$
• при $x = -3$, $y = -\frac{3}{-3} = 1$
• при $x = -2$, $y = -\frac{3}{-2} = 1.5$
• при $x = -1$, $y = -\frac{3}{-1} = 3$
• при $x = -0.5$, $y = -\frac{3}{-0.5} = 6$
• при $x = 0.5$, $y = -\frac{3}{0.5} = -6$
• при $x = 1$, $y = -\frac{3}{1} = -3$
• при $x = 2$, $y = -\frac{3}{2} = -1.5$
• при $x = 3$, $y = -\frac{3}{3} = -1$
• при $x = 6$, $y = -\frac{3}{6} = -0.5$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим график функции — гиперболу. Оси координат $x=0$ и $y=0$ являются асимптотами графика.

С помощью построенного графика найдем требуемые значения.

1) y, соответствующие значениям x, равным -6; -3; -1; $-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$; 1; 3; 6.

Для каждого заданного значения $x$ находим на графике соответствующую точку и определяем ее ординату (значение $y$).

• Если $x = -6$, то на графике находим точку с этой абсциссой. Ее ордината $y = 0.5$.
• Если $x = -3$, то $y = 1$.
• Если $x = -1$, то $y = 3$.
• Если $x = -\frac{1}{2}$ (т.е. -0.5), то $y = 6$.
• Если $x = \frac{1}{2}$ (т.е. 0.5), то $y = -6$.
• Если $x = 1$, то $y = -3$.
• Если $x = 3$, то $y = -1$.
• Если $x = 6$, то $y = -0.5$.

Ответ: при $x=-6, y=0.5$; при $x=-3, y=1$; при $x=-1, y=3$; при $x=-\frac{1}{2}, y=6$; при $x=\frac{1}{2}, y=-6$; при $x=1, y=-3$; при $x=3, y=-1$; при $x=6, y=-0.5$.

2) x, которым соответствуют значения y, равные $-\frac{1}{2}$; -1; -2; 2; 1; $\frac{1}{2}$.

Для каждого заданного значения $y$ находим на графике соответствующую точку и определяем ее абсциссу (значение $x$). Это можно сделать, решив уравнение $x = -\frac{3}{y}$ для каждого значения $y$.

• Если $y = -\frac{1}{2}$ (т.е. -0.5), то на графике находим точку с этой ординатой. Ее абсцисса $x = 6$.
• Если $y = -1$, то $x = 3$.
• Если $y = -2$, то $x = 1.5$.
• Если $y = 2$, то $x = -1.5$.
• Если $y = 1$, то $x = -3$.
• Если $y = \frac{1}{2}$ (т.е. 0.5), то $x = -6$.

Ответ: при $y=-\frac{1}{2}, x=6$; при $y=-1, x=3$; при $y=-2, x=1.5$; при $y=2, x=-1.5$; при $y=1, x=-3$; при $y=\frac{1}{2}, x=-6$.