Вопросы, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = \frac{k}{x}$ при: а) $k>0$; б) $k<0$?

2. Как расположены графики функций $y = \frac{k_1}{x}$ и $y = \frac{k_2}{x}$ при $0<k_1<k_2$?

1. Функция $y = \frac{k}{x}$ описывает обратную пропорциональность, ее график — гипербола. Расположение ветвей гиперболы зависит от знака коэффициента $k$.

а) При $k > 0$ произведение координат любой точки графика $xy = k$ должно быть положительным. Это условие выполняется, когда обе координаты имеют одинаковый знак:

1. $x > 0$ и $y > 0$ — первая координатная четверть.

2. $x < 0$ и $y < 0$ — третья координатная четверть.

Ответ: в I и III координатных четвертях.

б) При $k < 0$ произведение координат любой точки графика $xy = k$ должно быть отрицательным. Это условие выполняется, когда координаты имеют разные знаки:

1. $x < 0$ и $y > 0$ — вторая координатная четверть.

2. $x > 0$ и $y < 0$ — четвертая координатная четверть.

Ответ: во II и IV координатных четвертях.

2. Даны функции $y_1 = \frac{k_1}{x}$ и $y_2 = \frac{k_2}{x}$ с условием $0 < k_1 < k_2$.

Поскольку оба коэффициента $k_1$ и $k_2$ положительны, согласно пункту 1а, графики обеих функций (гиперболы) будут расположены в I и III координатных четвертях.

Чтобы определить их взаимное расположение, сравним значения функций при одном и том же значении аргумента $x \ne 0$.

Рассмотрим первую четверть, где $x > 0$. Из неравенства $k_1 < k_2$ следует, что $\frac{k_1}{x} < \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 < y_2$. Это означает, что для любого положительного $x$ точка на графике $y_2$ будет лежать выше точки на графике $y_1$.

Рассмотрим третью четверть, где $x < 0$. При делении неравенства $k_1 < k_2$ на отрицательное число $x$ знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{k_1}{x} > \frac{k_2}{x}$, то есть $y_1 > y_2$. Это означает, что в III четверти ветвь графика $y_1$ расположена выше (ближе к оси Ox) ветви графика $y_2$.

В обоих случаях график функции с большим по модулю коэффициентом ($k_2$) расположен дальше от начала координат.

Ответ: оба графика расположены в I и III четвертях. График функции $y = \frac{k_2}{x}$ расположен дальше от осей координат, чем график функции $y = \frac{k_1}{x}$.