Номер 3.135, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.135. Сравните:

1) $(0,7)^{20}$ и $(-0,7)^{20}$;

2) $-6,4^{4}$ и $(-6,4)^{4}$;

3) $(-2,1)^{19}$ и $2,1^{19}$;

4) $(-0,2)^{15}$ и $-0,2^{15}$.

1) Сравним числа $(0,7)^{20}$ и $(-0,7)^{20}$. Показатель степени $20$ является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным. Для любого числа $a$ и четного показателя степени $2n$ справедливо равенство $(-a)^{2n} = a^{2n}$. В нашем случае: $(-0,7)^{20} = (0,7)^{20}$. Таким образом, данные числа равны.

Ответ: $(0,7)^{20} = (-0,7)^{20}$.

2) Сравним числа $-6,4^4$ и $(-6,4)^4$. В выражении $-6,4^4$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Это означает, что сначала $6,4$ возводится в степень $4$, а затем к результату применяется знак минус. В итоге получается отрицательное число: $-6,4^4 = -(6,4^4)$. В выражении $(-6,4)^4$ в степень возводится отрицательное число $(-6,4)$. Поскольку показатель степени $4$ — четное число, результат будет положительным: $(-6,4)^4 = 6,4^4$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $-6,4^4 < (-6,4)^4$.

Ответ: $-6,4^4 < (-6,4)^4$.

3) Сравним числа $(-2,1)^{19}$ и $2,1^{19}$. Показатель степени $19$ является нечетным числом. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Для любого числа $a$ и нечетного показателя степени $2n-1$ справедливо равенство $(-a)^{2n-1} = -a^{2n-1}$. Значит, $(-2,1)^{19} = -(2,1^{19})$. Это отрицательное число. Число $2,1^{19}$ является положительным, так как основание $2,1$ положительно. Любое отрицательное число меньше любого положительного. Следовательно, $(-2,1)^{19} < 2,1^{19}$.

Ответ: $(-2,1)^{19} < 2,1^{19}$.

4) Сравним числа $(-0,2)^{15}$ и $-0,2^{15}$. В первом выражении $(-0,2)^{15}$ отрицательное число $(-0,2)$ возводится в нечетную степень $15$. Результат будет отрицательным числом: $(-0,2)^{15} = -(0,2^{15})$. Во втором выражении $-0,2^{15}$ сначала выполняется возведение в степень, а затем к результату применяется знак минус, то есть $-0,2^{15} = -(0,2^{15})$. Так как оба выражения приводят к одному и тому же результату, они равны.

Ответ: $(-0,2)^{15} = -0,2^{15}$.