Номер 3.128, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.128. В одной системе координат постройте графики функций $y=2x$ и $y=\frac{1}{2}x^3$. Найдите координаты точек их пересечения.

Построение графиков функций

Задача состоит из двух частей: построение графиков и нахождение их точек пересечения. Выполним их последовательно.

1. График функции $y=2x$

Эта функция является линейной, ее график — прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек. Для большей точности найдем несколько:

- при $x = -1$, $y = 2 \cdot (-1) = -2$. Точка $(-1, -2)$.

- при $x = 0$, $y = 2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Проведя прямую через эти точки, получим искомый график.

2. График функции $y=\frac{1}{2}x^3$

Эта функция является кубической, ее график — кубическая парабола. Составим таблицу значений для построения:

- при $x = -2$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-2)^3 = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4$. Точка $(-2, -4)$.

- при $x = -1$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-1)^3 = -0.5$. Точка $(-1, -0.5)$.

- при $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.

- при $x = 1$, $y = \frac{1}{2} \cdot 1^3 = 0.5$. Точка $(1, 0.5)$.

- при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2^3 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции $y=\frac{1}{2}x^3$. График симметричен относительно начала координат.

Нахождение координат точек пересечения

Точки пересечения графиков — это точки, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти эти координаты, составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 2x \\ y = \frac{1}{2}x^3 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$2x = \frac{1}{2}x^3$

Для удобства решения умножим обе части уравнения на 2:

$4x = x^3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов, $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$x(x-2)(x+2) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив каждое значение $x$ в более простое уравнение $y=2x$:

- для $x_1 = 0$: $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

- для $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2 = 4$. Вторая точка пересечения: $(2, 4)$.

- для $x_3 = -2$: $y_3 = 2 \cdot (-2) = -4$. Третья точка пересечения: $(-2, -4)$.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках.

Ответ: $(0, 0), (2, 4), (-2, -4)$.