Номер 3.122, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.122. Расположите в порядке возрастания числа $\text{a}$, $a^2$ и $a^3$, если:

1) $0<a<1$;

2) $a>1$;

3) $-1<a<0$;/p>

4) $a<-1$.

1) $0 < a < 1$

В этом случае число $a$ является правильной дробью (числом между 0 и 1). При возведении такого числа в степень, чем больше показатель степени, тем меньше получается результат. Для наглядности можно взять конкретный пример, пусть $a = 0.5$.

Тогда:

$a = 0.5$

$a^2 = (0.5)^2 = 0.25$

$a^3 = (0.5)^3 = 0.125$

Сравнивая полученные значения $0.125 < 0.25 < 0.5$, мы видим, что $a^3 < a^2 < a$.

В общем виде: поскольку $0 < a < 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a < 1$ на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится: $a \cdot a < 1 \cdot a$, что дает $a^2 < a$. Теперь умножим полученное неравенство $a^2 < a$ на $a$. Знак снова не изменится: $a \cdot a^2 < a \cdot a$, что дает $a^3 < a^2$.

Объединив результаты, получаем итоговый порядок: $a^3 < a^2 < a$.

Ответ: $a^3, a^2, a$.

2) $a > 1$

В этом случае число $a$ больше единицы. При возведении такого числа в степень, чем больше показатель степени, тем больше получается результат. Например, пусть $a = 2$.

Тогда:

$a = 2$

$a^2 = 2^2 = 4$

$a^3 = 2^3 = 8$

Сравнивая значения $2 < 4 < 8$, мы видим, что $a < a^2 < a^3$.

В общем виде: поскольку $a > 1$, то $a$ — положительное число. Умножим неравенство $a > 1$ на $a$. Так как $a > 0$, знак неравенства не изменится: $a \cdot a > 1 \cdot a$, что дает $a^2 > a$. Теперь умножим полученное неравенство $a^2 > a$ на $a$. Знак снова не изменится: $a \cdot a^2 > a \cdot a$, что дает $a^3 > a^2$.

Объединив результаты, получаем итоговый порядок: $a < a^2 < a^3$.

Ответ: $a, a^2, a^3$.

3) $-1 < a < 0$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого меньше единицы. Например, пусть $a = -0.5$.

Тогда:

$a = -0.5$

$a^2 = (-0.5)^2 = 0.25$

$a^3 = (-0.5)^3 = -0.125$

Сравниваем полученные числа: $a$ и $a^3$ — отрицательные, а $a^2$ — положительное. Следовательно, $a^2$ является наибольшим числом. Теперь сравним $a = -0.5$ и $a^3 = -0.125$. Поскольку $-0.5 < -0.125$, то $a < a^3$.

Таким образом, получаем порядок: $a < a^3 < a^2$.

В общем виде: если $-1 < a < 0$, то $a$ отрицательно, $a^2$ положительно (как квадрат ненулевого числа), а $a^3$ отрицательно (как произведение положительного $a^2$ и отрицательного $a$). Значит, $a^2$ — наибольшее число. Для сравнения $a$ и $a^3$ рассмотрим их разность: $a^3 - a = a(a^2 - 1)$. Из условия $-1 < a < 0$ следует, что $a < 0$. Также из этого условия, возведя в квадрат, получаем $0 < a^2 < 1$, откуда следует, что $a^2 - 1 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел ($a$ и $a^2-1$) положительно, т.е. $a(a^2 - 1) > 0$. Значит, $a^3 - a > 0$, или $a^3 > a$.

Итоговый порядок: $a < a^3 < a^2$.

Ответ: $a, a^3, a^2$.

4) $a < -1$

В этом случае $a$ — отрицательное число, модуль которого больше единицы. Например, пусть $a = -2$.

Тогда:

$a = -2$

$a^2 = (-2)^2 = 4$

$a^3 = (-2)^3 = -8$

Сравниваем полученные числа: $a$ и $a^3$ — отрицательные, а $a^2$ — положительное. Следовательно, $a^2$ является наибольшим числом. Теперь сравним $a = -2$ и $a^3 = -8$. Поскольку $-8 < -2$, то $a^3 < a$.

Таким образом, получаем порядок: $a^3 < a < a^2$.

В общем виде: если $a < -1$, то $a$ отрицательно, $a^2$ положительно, а $a^3$ отрицательно. Значит, $a^2$ — наибольшее число. Для сравнения $a$ и $a^3$ рассмотрим их разность: $a^3 - a = a(a^2 - 1)$. Из условия $a < -1$ следует, что $a < 0$. Также из этого условия, возведя в квадрат (знак неравенства меняется), получаем $a^2 > (-1)^2$, то есть $a^2 > 1$. Отсюда следует, что $a^2 - 1 > 0$. Произведение отрицательного числа ($a$) и положительного ($a^2-1$) отрицательно, т.е. $a(a^2 - 1) < 0$. Значит, $a^3 - a < 0$, или $a^3 < a$.

Итоговый порядок: $a^3 < a < a^2$.

Ответ: $a^3, a, a^2$.