Номер 3.127, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.127. Сколько точек пересечения имеют графики функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$? Найдите координаты этих точек.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y=a^2x$ и $y=b^2x^3$ необходимо решить систему этих уравнений. Для этого приравняем правые части:

$a^2x = b^2x^3$

Перенесем все члены в одну часть и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$b^2x^3 - a^2x = 0$

$x(b^2x^2 - a^2) = 0$

Решения этого уравнения, а следовательно, и количество точек пересечения, зависят от значений параметров $a$ и $b$. Проанализируем возможные случаи.

Случай 1: $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Уравнение $x(b^2x^2 - a^2) = 0$ распадается на два:

$x_1 = 0$

$b^2x^2 - a^2 = 0 \implies x^2 = \frac{a^2}{b^2} \implies x_{2,3} = \pm\frac{a}{b}$

В этом случае имеется три различных решения для $x$, а значит, и три точки пересечения.

Случай 2: Один из параметров равен нулю.

Если $a=0$ и $b\neq0$, уравнение принимает вид $x(b^2x^2) = 0 \implies b^2x^3 = 0$, что дает единственное решение $x=0$.

Если $a\neq0$ и $b=0$, уравнение принимает вид $x(-a^2) = 0 \implies -a^2x=0$, что также дает единственное решение $x=0$.

В обоих этих подслучаях имеется только одна точка пересечения.

Случай 3: Оба параметра равны нулю.

Если $a=0$ и $b=0$, исходное уравнение превращается в $0=0$. Это тождество верно для любого значения $x$. Это означает, что графики функций совпадают (оба уравнения становятся $y=0$), и у них бесконечно много точек пересечения.

Теперь, на основе этого анализа, мы можем дать ответы на поставленные вопросы.

Количество точек пересечения зависит от значений параметров $a$ и $b$:

- Если $a \neq 0$ и $b \neq 0$, графики имеют три точки пересечения.

- Если только один из параметров ($a$ или $b$) равен нулю, графики имеют одну точку пересечения.

- Если $a=0$ и $b=0$, графики совпадают и имеют бесконечно много точек пересечения.

Координаты точек пересечения определяются в каждом случае:

- При $a \neq 0$ и $b \neq 0$, абсциссы точек пересечения $x_1=0$, $x_2=\frac{a}{b}$ и $x_3=-\frac{a}{b}$. Найдем соответствующие ординаты, подставив эти значения в уравнение $y=a^2x$:

При $x_1=0 \implies y_1=a^2 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

При $x_2=\frac{a}{b} \implies y_2=a^2 \cdot (\frac{a}{b}) = \frac{a^3}{b}$. Точка $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$.

При $x_3=-\frac{a}{b} \implies y_3=a^2 \cdot (-\frac{a}{b}) = -\frac{a^3}{b}$. Точка $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

- При $a=0, b \neq 0$ или $a \neq 0, b=0$, единственная абсцисса пересечения $x=0$. Соответствующая ордината $y=a^2 \cdot 0 = 0$. Координаты единственной точки: $(0, 0)$.

- При $a=0$ и $b=0$, обе функции имеют вид $y=0$. Точки пересечения — это все точки на оси абсцисс, их координаты можно записать как $(c, 0)$, где $c$ — любое действительное число.

Ответ: Количество точек пересечения и их координаты зависят от параметров $a$ и $b$:

1. Если $a \neq 0$ и $b \neq 0$: три точки пересечения с координатами $(0, 0)$, $(\frac{a}{b}, \frac{a^3}{b})$ и $(-\frac{a}{b}, -\frac{a^3}{b})$.

2. Если $a=0, b \neq 0$ или $a \neq 0, b=0$: одна точка пересечения с координатами $(0, 0)$.

3. Если $a=0$ и $b=0$: бесконечно много точек пересечения, которые образуют прямую $y=0$. Координаты этих точек $(c, 0)$ для любого $c \in \mathbb{R}$.