Номер 3.123, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.123. Найдите все точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x^3$.

Сколько таких точек? Укажите их координаты. Объясните, почему при больших по модулю положительных $\text{x}$ кубическая функция «обгоняет» квадратичную.

Нахождение точек пересечения, их количества и координат.

Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2$ и $y = x^3$, необходимо приравнять выражения для $y$:

$x^2 = x^3$

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$x^3 - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0$

2) $x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, подставив их в любую из исходных функций (например, в $y = x^2$):

1) При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

2) При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, 1)$.

Таким образом, существует две точки пересечения.

Ответ: Всего 2 точки пересечения с координатами $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Объяснение, почему при больших по модулю положительных $x$ кубическая функция «обгоняет» квадратичную.

Нам нужно объяснить, почему $x^3 > x^2$ при больших положительных значениях $x$. Большие положительные значения $x$ — это значения $x > 1$, так как в точке $x=1$ функции равны.

Рассмотрим, как связаны значения функций $y=x^3$ и $y=x^2$. Кубическую функцию можно представить в виде произведения: $x^3 = x \cdot x^2$.

Когда $x > 1$, мы умножаем значение квадратичной функции ($x^2$), которое всегда положительно, на множитель $x$, который больше единицы. При умножении положительного числа на число, большее единицы, результат всегда становится больше исходного числа.

Следовательно, при $x > 1$ значение $x^3$ всегда будет больше значения $x^2$. Чем больше становится $x$, тем больше множитель $x$, и тем значительнее разрыв между $x^3$ и $x^2$, то есть кубическая функция растет намного быстрее.

Ответ: При больших положительных $x$ (то есть при $x>1$), значение кубической функции $x^3$ получается путем умножения значения квадратичной функции $x^2$ на множитель $x$, который в этом диапазоне больше 1. Это приводит к тому, что результат $x^3$ всегда превышает $x^2$.