Номер 3.129, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.129. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y-x^2}{xy} = 0;$

2) $\frac{4y-x^2}{4-x^2} = 0;$

3) $\frac{y-x^3}{y-8} = 0.$

1) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Таким образом, данное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ xy \neq 0 \end{cases}$. Из первого уравнения следует, что $y = x^2$. Это уравнение параболы. Условие $xy \neq 0$ означает, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Подставим $y = x^2$ в условие $xy \neq 0$, получим $x \cdot x^2 \neq 0$, или $x^3 \neq 0$, что равносильно $x \neq 0$. Если $x \neq 0$, то и $y = x^2$ также не равно нулю. Следовательно, из графика параболы $y = x^2$ нужно исключить точку, для которой $x=0$. При $x=0$ получаем $y=0^2=0$. Значит, искомый график — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$. Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(0, 0)$.

2) Данное уравнение равносильно системе: $\begin{cases} 4y - x^2 = 0 \\ 4 - x^2 \neq 0 \end{cases}$. Из первого уравнения выражаем $y$: $4y = x^2$, откуда $y = \frac{1}{4}x^2$. Это уравнение параболы с ветвями, направленными вверх. Из второго условия $4 - x^2 \neq 0$ следует, что $x^2 \neq 4$, то есть $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Найдем ординаты точек, которые нужно исключить из графика. При $x=2$ получаем $y = \frac{1}{4}(2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. При $x=-2$ получаем $y = \frac{1}{4}(-2)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$. Таким образом, из параболы $y = \frac{1}{4}x^2$ необходимо выколоть точки $(2, 1)$ и $(-2, 1)$. Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = \frac{1}{4}x^2$ с выколотыми точками $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.

3) Уравнение равносильно системе: $\begin{cases} y - x^3 = 0 \\ y - 8 \neq 0 \end{cases}$. Из первого уравнения получаем $y = x^3$. Это уравнение кубической параболы. Второе условие $y - 8 \neq 0$ означает, что $y \neq 8$. Необходимо из графика функции $y = x^3$ исключить точку с ординатой $y=8$. Найдем абсциссу этой точки, подставив $y=8$ в уравнение графика: $8 = x^3$, откуда $x = \sqrt[3]{8} = 2$. Следовательно, из графика кубической параболы $y = x^3$ нужно выколоть точку с координатами $(2, 8)$. Ответ: Графиком уравнения является кубическая парабола $y = x^3$ с выколотой точкой $(2, 8)$.