Номер 3.124, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.124. Сколько точек пересечения могут иметь графики функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$? Здесь $\text{a}$ и $\text{b}$ - заданные коэффициенты. Найдите координаты этих точек при:

1) $a=2$; $b=-2$;

2) $a=\frac{1}{2}$; $b=\frac{1}{3}$.

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y=ax^2$ и $y=bx^3$ необходимо решить систему уравнений, приравняв их правые части:

$ax^2 = bx^3$

Перенесем все члены в одну сторону и вынесем общий множитель за скобки:

$bx^3 - ax^2 = 0$

$x^2(bx - a) = 0$

Это уравнение всегда имеет решение $x=0$, которому соответствует точка пересечения $(0, 0)$. Второе возможное решение находится из уравнения $bx - a = 0$.

Проанализируем количество решений в зависимости от коэффициентов $a$ и $b$:

- Если $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то уравнение $bx-a=0$ дает второе решение $x = \frac{a}{b}$, отличное от нуля. В этом случае будет две точки пересечения.

- Если один из коэффициентов равен нулю, а другой нет (например, $a \neq 0, b = 0$ или $a = 0, b \neq 0$), то будет только одна точка пересечения $(0, 0)$.

- Если оба коэффициента равны нулю ($a=0$ и $b=0$), то обе функции превращаются в $y=0$. Их графики совпадают (ось Ox), и они имеют бесконечно много точек пересечения.

Таким образом, графики функций могут иметь одну, две или бесконечно много точек пересечения.

Теперь найдем координаты точек для заданных случаев.

1) a = 2; b = -2

Подставим значения коэффициентов в общее уравнение $x^2(bx - a) = 0$:

$x^2(-2x - 2) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая для $x$:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$-2x - 2 = 0 \implies -2x = 2 \implies x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0^2 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = 2 \cdot (-1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$. Вторая точка пересечения: $(-1, 2)$.

Ответ: $(0, 0)$, $(-1, 2)$.

2) a = $\frac{1}{2}$; b = $\frac{1}{3}$

Подставим значения коэффициентов в уравнение $x^2(bx - a) = 0$:

$x^2(\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}) = 0$

Это уравнение дает два возможных случая для $x$:

$x^2 = 0 \implies x_1 = 0$

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{3}x = \frac{1}{2} \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = \frac{3}{2}$, $y_2 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{8}$. Вторая точка пересечения: $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{3}{2}, \frac{9}{8})$.