Номер 3.121, страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.121. Известно, что точка $A(a;b)$ принадлежит графику функции:

1) $y=x^2$;

2) $y=x^3$.

Принадлежат ли этому графику точки $B(-a;b)$; $C(a;-b)$; $D(-a;-b)$?

1) y=x²

По условию, точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y=x^2$. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению функции, то есть выполняется равенство: $b = a^2$. Это наше исходное условие.

Теперь проверим, принадлежат ли точки B, C и D графику этой функции, используя это условие.

• Точка B(-a; b). Чтобы точка принадлежала графику, ее координаты должны удовлетворять уравнению $y=x^2$. Подставим $x = -a$ и $y = b$ в уравнение: $b = (-a)^2$.

  Так как $(-a)^2 = a^2$, мы получаем $b = a^2$. Это равенство совпадает с нашим исходным условием. Следовательно, точка B принадлежит графику функции.

• Точка C(a; -b). Подставим $x = a$ и $y = -b$ в уравнение: $-b = a^2$.

  Из исходного условия мы знаем, что $a^2 = b$. Заменив $a^2$ на $b$ в нашем выражении, мы получаем $-b = b$. Это равенство верно только в том случае, если $2b=0$, то есть $b = 0$. Если $b=0$, то и $a=0$. Таким образом, точка C принадлежит графику только в частном случае, когда точка A является началом координат (0;0). В общем случае, для любой другой точки на параболе, это неверно. Следовательно, точка C в общем случае не принадлежит графику функции.

• Точка D(-a; -b). Подставим $x = -a$ и $y = -b$ в уравнение: $-b = (-a)^2$.

  Упрощая правую часть, получаем $-b = a^2$. Как и в случае с точкой C, это приводит к равенству $-b = b$, которое в общем случае неверно. Следовательно, точка D в общем случае не принадлежит графику функции.

Ответ: Точка B принадлежит графику; точки C и D не принадлежат.

2) y=x³

По условию, точка $A(a; b)$ принадлежит графику функции $y=x^3$. Это означает, что выполняется равенство: $b = a^3$. Это наше исходное условие.

Теперь проверим точки B, C и D.

• Точка B(-a; b). Подставим $x = -a$ и $y = b$ в уравнение $y=x^3$: $b = (-a)^3$.

  Так как $(-a)^3 = -a^3$, мы получаем $b = -a^3$. Сравнивая это с исходным условием $b = a^3$, мы получаем $a^3 = -a^3$. Это равенство верно только при $a=0$ (и, следовательно, $b=0$). В общем случае оно не выполняется. Следовательно, точка B в общем случае не принадлежит графику функции.

• Точка C(a; -b). Подставим $x = a$ и $y = -b$ в уравнение: $-b = a^3$.

  Используя исходное условие $b=a^3$, мы получаем $-b=b$, что верно только при $b=0$. В общем случае это неверно. Следовательно, точка C в общем случае не принадлежит графику функции.

• Точка D(-a; -b). Подставим $x = -a$ и $y = -b$ в уравнение: $-b = (-a)^3$.

  Упрощая правую часть, получаем $-b = -a^3$. Умножив обе части на -1, мы приходим к равенству $b = a^3$. Это в точности совпадает с нашим исходным условием, поэтому оно всегда верно. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.

Ответ: Точка D принадлежит графику; точки B и C не принадлежат.