Номер 3.126, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.126. Дана функция $y = ax^3$. Известно, что при $x = 2$ значение функции равно 16, а при $x = -1$ значение функции равно $-2$.

1) Найдите коэффициент $\text{a}$ и запишите уравнение.

2) Постройте график и кратко опишите его. Куда направлены ветви?

Есть ли симметрия?

1) Найдите коэффициент а и запишите уравнение.

Дана функция $y = ax^3$. Известно, что ее график проходит через точки $(2, 16)$ и $(-1, -2)$.

Чтобы найти коэффициент $a$, подставим координаты одной из точек, например $(2, 16)$, в уравнение функции:

$16 = a \cdot 2^3$

$16 = a \cdot 8$

$a = \frac{16}{8} = 2$

Для проверки подставим в уравнение $y = 2x^3$ координаты второй точки $(-1, -2)$:

$-2 = 2 \cdot (-1)^3$

$-2 = 2 \cdot (-1)$

$-2 = -2$

Равенство верное, значит коэффициент $a$ найден правильно.

Искомое уравнение функции: $y = 2x^3$.

Ответ: Коэффициент $a=2$, уравнение функции $y = 2x^3$.

2) Постройте график и кратко опишите его. Куда направлены ветви? Есть ли симметрия?

Графиком функции $y=2x^3$ является кубическая парабола. Для его построения составим таблицу значений:

Краткое описание графика: График проходит через начало координат. Он расположен в I и III координатных четвертях. Функция является строго возрастающей на всей области определения ($D(y) = (-\infty; +\infty)$).

Куда направлены ветви?

Так как коэффициент $a=2 > 0$, ветви графика направлены вверх в первой четверти (при $x \to +\infty, y \to +\infty$) и вниз в третьей четверти (при $x \to -\infty, y \to -\infty$).

Есть ли симметрия?

Да, есть. Проверим функцию $y(x)=2x^3$ на четность/нечетность:

$y(-x) = 2(-x)^3 = 2(-x^3) = -2x^3$.

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. График нечетной функции симметричен относительно начала координат $(0, 0)$.

Ответ: График — кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви направлены вверх в первой координатной четверти и вниз в третьей. Да, есть симметрия относительно начала координат.