Номер 3.125, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.125. Определите координаты точек пересечения графиков функций $y = ax$ и $y = bx^2$. Решите задачу при $a=1$, $b=\frac{1}{3}$ и постройте графики этих функций в одной системе координат.

Определите координаты точек пересечения графиков функций

В соответствии с условием задачи, подставим значения $a=1$ и $b=\frac{1}{3}$ в уравнения функций $y = ax$ и $y = bx^2$. Получим две конкретные функции:

1. Линейная функция: $y = x$

2. Квадратичная функция: $y = \frac{1}{3}x^2$

Точки пересечения графиков — это точки, в которых их координаты $(x, y)$ совпадают. Чтобы найти эти точки, необходимо решить систему уравнений: $ \begin{cases} y = x \\ y = \frac{1}{3}x^2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны: $x = \frac{1}{3}x^2$

Для решения уравнения перенесем все его члены в одну сторону: $\frac{1}{3}x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(\frac{1}{3}x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $\frac{1}{3}x_2 - 1 = 0$, откуда следует, что $\frac{1}{3}x_2 = 1$ и $x_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в более простое уравнение $y=x$:

- При $x_1 = 0$, получаем $y_1 = 0$. Координаты первой точки пересечения: $(0, 0)$.

- При $x_2 = 3$, получаем $y_2 = 3$. Координаты второй точки пересечения: $(3, 3)$.

Ответ: $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

Постройте графики этих функций в одной системе координат

Для построения необходимо изобразить графики функций $y=x$ и $y=\frac{1}{3}x^2$ на одной координатной плоскости.

1. График функции $y=x$ — это прямая линия. Она является биссектрисой I и III координатных четвертей и проходит через начало координат. Для ее построения достаточно двух точек, например, найденных нами точек пересечения: $(0, 0)$ и $(3, 3)$. Соединив их прямой линией, мы получим график этой функции.

2. График функции $y=\frac{1}{3}x^2$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен $(\frac{1}{3} > 0)$, ее ветви направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Для более точного построения графика найдем несколько точек, принадлежащих параболе, выбрав симметричные значения $x$ относительно оси $Oy$:

- если $x=0$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0,0)$.

- если $x=3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 3^2 = 3$. Точка $(3,3)$.

- если $x=-3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot (-3)^2 = 3$. Точка $(-3,3)$.

Построив прямую $y=x$ и параболу $y=\frac{1}{3}x^2$ в одной системе координат, мы визуально подтвердим, что они пересекаются в точках с координатами $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

Ответ: Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(3, 3)$. Графиком функции $y=\frac{1}{3}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх, проходящая через точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$. Графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(3, 3)$.