Номер 3.149, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.149. Прямоугольник со сторонами $\text{a}$ см и $\text{b}$ см имеет площадь, равную $6 \text{ см}^2$. Задайте формулой зависимость $\text{b}$ от $\text{a}$. Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью? Найдите область определения этой функции и начертите ее график.

Задайте формулой зависимость b от a.

Площадь прямоугольника $S$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. По условию задачи площадь равна 6 см², следовательно, $a \cdot b = 6$. Чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, разделим обе части уравнения на $a$ (поскольку $a$ — это длина стороны, $a \neq 0$).

Получаем формулу: $b = \frac{6}{a}$.

Ответ: $b = \frac{6}{a}$.

Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью?

Обратной пропорциональностью называется функциональная зависимость вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая переменная и $k$ — постоянный коэффициент, не равный нулю. Полученная формула $b = \frac{6}{a}$ полностью соответствует этому определению, где $a$ выступает в роли $x$, $b$ — в роли $y$, а коэффициент пропорциональности $k = 6$. Это означает, что при увеличении одной стороны прямоугольника в несколько раз, другая сторона уменьшается во столько же раз, чтобы их произведение оставалось постоянным и равным 6.

Ответ: Зависимость является обратной пропорциональностью, так как она выражается формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k=6$.

Найдите область определения этой функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае, переменной $a$). С математической точки зрения, в выражении $b = \frac{6}{a}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $a \neq 0$. Однако, поскольку $a$ представляет собой длину стороны прямоугольника, она также не может быть отрицательной. Таким образом, длина стороны $a$ должна быть строго больше нуля.

Ответ: Область определения функции: $a > 0$, что в виде интервала записывается как $(0; +\infty)$.

Начертите ее график.

Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Так как область определения $a > 0$, мы строим только ту ее ветвь, которая находится в первой координатной четверти. Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему, составив таблицу значений:

Построим график в системе координат $aOb$, отметив на нем вычисленные точки и соединив их плавной линией.

Ответ: График функции $b = \frac{6}{a}$ при $a>0$ — это ветвь гиперболы в первой координатной четверти, представленная на рисунке выше.