Номер 3.152, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.152. Если $x > 0$ (или $x < 0$), то функция $f(x) = \frac{k}{x}$ при $k > 0$ является убывающей, а при $k < 0$ – возрастающей. Докажите это утверждение. Определите, какие из следующих функций являются убывающими, а какие – возрастающими. В каких координатных четвертях расположены графики этих функций:

1) $y = \frac{3}{x}$;

2) $y = -\frac{10}{x}$;

3) $y = -\frac{1}{2x}$;

4) $y = \frac{1}{4x}$?

Доказательство утверждения:

Функция $f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Функция $f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{k}{x}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$. Исследуем поведение функции на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из одного из этих промежутков, так что $x_1 < x_2$. Из этого следует, что $x_2 - x_1 > 0$.

Найдем разность значений функции в этих точках:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{k}{x_1} - \frac{k}{x_2} = k \left(\frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2}\right) = k \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$.

Проанализируем знак полученного выражения. Знаменатель $x_1 x_2$ всегда будет положительным, так как $x_1$ и $x_2$ берутся из одного и того же промежутка знакопостоянства (оба положительные или оба отрицательные). Числитель дроби $x_2 - x_1$ также положителен, так как мы выбрали $x_1 < x_2$.

Таким образом, знак всей разности $f(x_1) - f(x_2)$ зависит только от знака коэффициента $k$.

Случай 1: $k > 0$

Если $k > 0$, то разность $f(x_1) - f(x_2) = k \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$ будет положительной, так как $k > 0$, $x_2 - x_1 > 0$ и $x_1 x_2 > 0$.

Из $f(x_1) - f(x_2) > 0$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Поскольку для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, функция является убывающей на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Случай 2: $k < 0$

Если $k < 0$, то разность $f(x_1) - f(x_2) = k \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$ будет отрицательной, так как $k < 0$, а дробь $\frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$ положительна.

Из $f(x_1) - f(x_2) < 0$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$.

Поскольку для $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, функция является возрастающей на каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

Утверждение доказано.

Теперь определим свойства для каждой из заданных функций.

1) Функция $y = \frac{3}{x}$. Это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 3$. Поскольку $k = 3 > 0$, функция является убывающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Если $x > 0$, то $y > 0$ (I четверть). Если $x < 0$, то $y < 0$ (III четверть).

Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III четвертях.

2) Функция $y = -\frac{10}{x}$. Это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -10$. Поскольку $k = -10 < 0$, функция является возрастающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. Если $x < 0$, то $y > 0$ (II четверть). Если $x > 0$, то $y < 0$ (IV четверть).

Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV четвертях.

3) Функция $y = -\frac{1}{2x}$. Эту функцию можно записать как $y = \frac{-1/2}{x}$. Это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = -1/2$. Поскольку $k = -1/2 < 0$, функция является возрастающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. График расположен во II и IV координатных четвертях.

Ответ: функция возрастающая; график расположен во II и IV четвертях.

4) Функция $y = \frac{1}{4x}$. Эту функцию можно записать как $y = \frac{1/4}{x}$. Это обратная пропорциональность вида $y = \frac{k}{x}$ с коэффициентом $k = 1/4$. Поскольку $k = 1/4 > 0$, функция является убывающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$. График расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: функция убывающая; график расположен в I и III четвертях.